3. 4. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Мы убедились, что, в случае когда известно общее решение линейного однородного уравнения, можно по методу вариации произвольных постоян­ных найти общее решение неоднородного уравнения. Однако вопрос о том, как найти общее решение однородного уравнения, остался открытым. В частном случае, когда в линейном дифференциальном уравнении (3) все коэффициенты р_i(х) = а_i − константы, он решается достаточно просто, даже без интегрирования.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, т. е. уравнения вида

y⁽ⁿ⁾ + а₁y^{(n – 1)} +… а_{n – 1}y' + а_ny = 0, (14)

где а_i − константы (i = 1, 2, ..., n).

Как известно, для линейного однородного уравнения 1-го порядка реше­нием является функция вида е ^kx. Будем искать решение уравнения (14) в виде  (х) = е ^kx.

Подставим в уравнение (14) функцию  (х) и ее производные порядка m (1 ≤ m ≤ n)  ^(m)(х) = k^mе ^kx. Получим

(kⁿ + а₁k^{n – 1} +… а_{n – 1}k + а_n)е ^kx = 0,

но е ^kх ≠ 0 при любом х, поэтому

kⁿ + а₁k^{n – 1} +… а_{n – 1}k + а_n = 0. (15)

Уравнение (15) называется характеристическим уравнением, многочлен, стоящий в левой части, − характеристическим многочленом, его корни − характеристическими корнями дифференциального уравнения (14).

Вывод: функция  (х) = е ^kx − решение линейного однородного уравне­ния (14) тогда и только тогда, когда число k − корень характеристического уравнения (15).

Таким образом, процесс решения линейного однородного уравнения (14) сводится к решению алгебраического уравнения (15).

Возможны различные случаи характеристических корней.

1. Все корни характеристического уравнения действительные и различные.

В этом случае n различным характеристическим корням k₁, k₂, ..., k_n со­от­ветствует n различныx решений однородного уравнения (14)

Можно показать, что эти решения линейно независимы, следовательно, образуют фундаментальную систему решений. Таким образом, общим реше­нием уравнения является функция

где С₁, C₂, ..., С_n − произвольные константы.

Пример 7. Найти общее решение линейного однородного уравнения:

а) у′′(х) − 6у′(х) + 8у(х) = 0,

б) у′′′(х) + 2у′′(х) − 3у′(х) = 0.

Решение. Составим характеристическое уравнение. Для этого заменим произ­вод­ную порядка m функции y(x) на соответствующую степень

k(у^(m)(x) ↔ k^m),

при этом сама функция у(х) как производная нулевого порядка заменяется на k⁰ = 1.

В случае (а) характеристическое уравнение имеет вид k²− 6k + 8 = 0. Корни этого квадратного уравнения k₁ = 2, k₂ = 4. Так как они действительные и различные, то общее решение имеет вид  (х) = С¹е^2х + С₂е^4х.

Для случая (б) характеристическим уравнением является уравнение 3-й степени k³ + 2k² − 3k = 0. Найдем корни этого уравнения:

k(k² + 2k − 3)= 0 ⇒ k = 0 и k² + 2k − 3 = 0 ⇒ k = 0, (k − 1)(k + 3) = 0,

т. е. k₁ = 0, k₂ = 1, k₃ = −3.

Этим характеристическим корням соответствует фундаментальная сис­те­ма решений дифференциального уравнения:

1(х) = е^0х = 1, 2(х) = е ^х, 3(х) = е ^−3х.

Общим решением, согласно формуле (9), является функция