Пример выполнения задачи 4

Поперечное сечение (рис. 8) состоит из двух элементов, соединённых в одно целое. Согласно условию задачи 4 нужно вычислить главные моменты инерции и найти положение главных осей. Элементы сечения: прямоугольная полоса – мм² и равнополочный уголок – .

Решение

1. Вычертим сечение в масштабе 1:2.

2. Разобьём сечение на две фигуры: прямоугольник см² и равнополочный уголок .Через центры тяжести фигур и проведём центральные оси и .

Вычислим для прямоугольника осевые моменты инерции относительно его центральных осей:

см⁴, см⁴,

, так как оси являются главными осями прямоугольника (для швеллера и двутавра центральные оси, параллельные полкам и стенкам, также являются главными).

Рис. 8

Для 2-й фигуры (уголка) выпишем из таблицы 15 (см. приложение) значения площади , моментов инерции , , и расстояния до его центра тяжести:

см², см⁴; см⁴; см.

Часто допускается ошибка при определении знака центробежного момента инерции уголка. В таблицах ГОСТа даны абсолютные значения этого момента инерции и не указан его знак, который меняются с + на – при изменении положения уголка. Чтобы избежать этой ошибки, знак центробежного момента инерции необходимо назначить, пользуясь таблицей 6.

Для определения центра тяжести сечения выберем вспомогательные (исходные) оси ( , ). Координаты центра тяжести определим по известной формуле:

см,

см.

Таблица 6

Через найденный центр тяжести сечения проведём центральные оси .

3. Используя формулы параллельного переноса осей, определим моменты инерции сечения относительно осей

, ,

,

здесь ; – смещение осей, где , – координаты центра тяжести фигуры в исходных осях . Для нашего примера:

см,

см,

см,

см.

см⁴,

см⁴,

см⁴.

Определим главные моменты инерции по формуле

;

см⁴; см⁴.

Проверим правильность расчётов по формуле известным равенством:

.

Подставим числовые значения:

, .

Допускаемая ошибка в инженерных расчетах составляет две-три единицы в третьей значащей цифре.

4. Найдём положение главных осей:

,

.

Так как угол отрицательный, то его следует отложить от оси по ходу часовой стрелки (рис. 5).

Окончательным пунктом вычисления геометрических характеристик является назначение оси максимальных и оси минимальных моментов инерции, что очень важно для рационального расположения сечения по отношению к плоскости нагрузки. Моменты инерции , – это экстремальные моменты, то есть один из них является , другой . Установить назначение этих осей можно по следующему правилу:

• ось максимальных моментов инерции наклонена под меньшим углом к той оси (оси , или оси ), относительно которой момент инерции имел наибольшее значение (это или ).

В нашем расчёте больше . значит,

см⁴, см⁴.

Контрольная работа № 2. Кручение и изгиб. Задача 5

К стальному валу круглого поперечного сечения приложены три известных момента и один неизвестный момент (рис. 9).

Требуется:

1. Установить, при каком значении момента угол поворота правого концевого сечения вала равен нулю.

2. Построить эпюры крутящих моментов и углов закручивания с учётом найденного значения .

3. Определить диаметр из условия прочности вала, округлив его величину до ближайшей большей, соответственно равной 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм.

4. Найти наибольший относительный угол закручивания (угол закручивания на 1 м длины вала).

Числовые данные взять из табл. 7.

Таблица 7

Схема	Длина отрезков, м			Момент, кН×м			Допускаемое напряжение , МПа
	а	b	c
I	0,45	0,65	0,60	1,1	1,5	2,0	60
II	0,40	0,55	0,45	1,2	1,8	1,1	70
III	0,50	0,35	0,60	1,3	1,6	1,8	50
IV	0,55	0,45	0,40	1,4	1,5	1,7	65
V	0,50	0,60	0,35	1,5	1,3	1,6	55
VI	0,60	0,50	0,50	1,6	2,1	1,5	60
VII	0,70	0,35	0,55	1,7	1,5	1,4	65
VIII	0,45	0,65	0,60	1,8	1,3	1,4	50
IX	0,55	0,75	0,50	1,9	1,5	1,2	60
X	0,60	0,70	0,35	2,0	1,7	1,1	70
е	г	д	г	е	д	г	е

Рис. 9