10.Решение многомерной задачи оптимизации на условный экстремум.

В классическом диф. исчислении существуют задачи на условный экстремум:

найти экстремум функции многих переменных Q = F (U_1….U_к, U_к+1,_…U _к+м),

при условии, что , необх. найти (к+м) переменных

1 способ: из m ур-ий связи выражаем m неизвестных через ост.

Пример: Q = x²+y²; x + y – 1 = 0,

х = 1 – у, Q = 1 – 2y + y² + y²

x=0,5, y=0,5

2 способ: выразить значение одних переменных через др. чаще всего невозможно. Тогда примен. метод неопр. множителей Лагранжа:

1. Q = F (U₁, _…, U _к+м)

2. 

Введем в рассм-ие целевую ф-ю:

λ – неопр. множитель Лагранжа

Далее решаем класс. методом.

По пред. примеру:

Q = x²+y²; x + y – 1 = 0, х = 1 – у, Q = 1 – 2y + y² + y²; x=0,5, y=0,5

; ;

11. Поиск экстремума ф-ции многих переменных методом сканирования.

U₂

линии уровня или линии равного значения ф-ции

критерия оптимальности

U₁

Сущность: просмотр значений целевой ф-ции в ряде точек в дополнительной области управления и выбор из них оптимальной(min max) причем распределение точек разнообразно.(по секи, спирали ,как угодно)

Плюсы:

• получаем глобальный экстремум

• Не зависит от вида целевой функции

Минус:

Большой объем вычислений .

выход: сначала сканирование с большим шагом, локализуем и уменьшаем шаг.

12. Метод многомерного поиска экстремума ,Метод релаксации и Гаусса- Зайделя.

Или метод поочередного ∆-ия переменных.

Гаусса- Зайделя

U ₁

U ₁

U ₂ < U ₁

0 U ₂

U ₂

Поиск заканчивается ,когда передвижение не дает улучшений ни по одной из переменных.

Пусть мы находимся в точке О, будем изменять одно направление U ₁

, U ₂-const .делаем шаг по U ₁

И смотрим получившееся значение Q,если значение улучшилось, делаем шаг в этом же направлении ,если ухудшилось,в обратном ,и начинаем шагать по другой переменной.

Поиск заканчиваем когда интервал ≤заданной точности.

Метод релаксации

Усовершенствованный метод Гаусса- Зайделя ,отличие в том, что перемещение к экстр. происходит не последовательно по каждой из переменных, а по той ,у которой целевая ф-ция меняется наиболее быстро. перед тем ,как начать движение необходимо взять

по всем переменным, посмотреть,по которым наиболее сильно ∆-ся производят рабочий шаг.

шаг x _{i+ 1} = x _I +k∆

∆= 1) ∆ ,если Q _i>Q_i-1

2) ∆/2,если Q _i<Q_i-1

недостатки те же. окончание поиска,когда ∑ всех производн в квадрате ≤δ-критерия окончания поиска.

(∑ {dQ₂/dU_i} )^0.5 ≤δ

13. МЕТОД ГРАДИЕНТА.

Ни метод релаксации, ни метод Гаусса-Зайделя не помогают решить задачу оврагов или хребтов, потому что в этих методах задано направление поиска по одной из переменных. А при наличие «оврага» или «хребта» функция возрастает, улучшается при движении вдоль «хребта» или «оврага». Метод градиента - заключается в том, что мы отыскиваем направление градиента и делаем рабочий шаг в этом направлении. Градиентом функции называется вектор, направление которого совпадает с направлением наибольшeго быстрого роста функции, а величина(или модуль) вектора пропорционална скорости роста функции. Q=U₁U₂²+ U₂²

U 1=2 U1=1

dQ/dU₁=U ₂²=1

dQ/U₂= U₁ 2U2+2U₂=6

gradQ=

Св-ва:

1. В каждой точке свой градиент

2. Градиент указывает направление наискорейшего роста функции

3. Градиент нормален или перпендикулярен поверхности равных значений целевой функции

U_i+1=U₁+k (∂Q/∂U_i)/│gradQ│

Шаг k – м/о выбирать самим, сначала большой, затем меньше.

МЕТОД НАИСКОРЕЙШЕГО СПУСКА. Отличается от метода градиента тем. Что градиент не определяется после каждого шага, а определяется в исх.точке, а затем по направлению градиента делаются шаги до тех пор пока функция не начнет уменьшаться (соединение метода релаксации и градиента)