11. Симметрия относительно точки
Пусть О — фиксированная точка и X — произвольная точка плоскости (рис. 187). Отложим на продолжении отрезка ОХ за точку О отрезок ОХ', равный ОХ.
Точка X' называется симметричной точке X относительно точки О. Точка, симметричнаяточке О, есть сама точка О. Очевидно, что точка, симметричная точке X', есть точка X.
Преобразование фигуры F в фигуру F', при котором каждая ее точка X переходит в точку X', симметричную относительно данной точки О, называется преобразованием симметрии относительно точки О. При этом фигуры F и F' называются симметричными относительно точки О (рис. 188).
Если преобразование симметрии относительно точки О переводит фигуру F в себя, то она называется центрально-симметричной, а точка О называется центром симметрии.
Например,
параллелограмм является
центрально-симметричной фигурой. Его
центром симметрии является точка
пересечения диагоналей (рис.
189).
Теорема
9.2. Преобразование
симметрии относительно точки является
движением.
Доказательство. Пусть X и Y — две произвольные точки фигуры F (рис. 190). Преобразование симметрии относительно точки О переводит их в точки X' и У.
Рассмотрим треугольники XOY и X'OY'. Эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. У них углы при вершине О равны как вертикальные, а ОХ=ОХ', OY=OY' по определению симметрии относительно точки О. Из равенства треугольников следует равенство сторон: XY=X'Y'. А это значит, что симметрия относительно точки О есть движение. Теорема доказана.
10. Осевая симметрия
Две точки А и А1 называются симметричными друг другу относительно прямой m, если прямая m перпендикулярна отрезку АА1 и проходит через его середину. Прямую m называют осью симметрии.
При сгибании плоскости чертежа по прямой m – оси симметрии симметричные фигуры совместятся.
Прямоугольник имеет две оси симметрии.
Квадрат имеет четыре оси симметрии.
Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии. Окружность имеет бесконечное множество осей симметрии.
Точки А и А1 симметричны
относительно прямой m, так как прямая
m перпендикулярна отрезку АА1 и
проходит через его середину.
m – ось симметрии.
Прямоугольник ABCD имеет
две оси симметрии: прямые m и l.
Если чертеж перегнуть по прямой mили по прямой l, то обе части чертежа совпадут.
Квадрат ABCD имеет
четыре оси симметрии: прямые m, l, k и
s.
Если квадрат перегнуть по какой-либо из прямых: m, l, k или s, то обе части квадрата совпадут.
Окружность
с центром в точке О и радиусом ОА имеет
бесчисленное количество осей симметрии.
Это прямые: m,
m1, m2, m3 ...
Задание. Построить точку А1, симметричную точке А(-4; 2) относительно оси Ох.
Построить точку А2, симметричную точке А(-4; 2) относительно оси Оy.
Точка
А1(-4;
-2) симметрична точке А(-4; 2) относительно
оси Ох, так как ось Ох перпендикулярна
отрезку АА1 и
проходит через его середину.
У точек, симметричных относительно оси Ох абсциссы совпадают, а ординаты являются противоположными числами.
Точка А2(4; -2) симметрична точке А(-4; 2) относительно оси Оy, так как ось Оу перпендикулярна отрезку АА2 и проходит через его середину.
У точек, симметричных относительно оси Оу ординаты совпадают, а абсциссы являются противоположными числами.
9.
Поворот
плоскости вокруг центра O на
угол 
Обозначение: 
или 
Свойство
поворотов: 
(n -
целое).
Композиция
поворотов: 
(тождественное
преобразование).
Координатные формулы поворота на угол
Если 
и 
то
при повороте вокруг точки 
:
при
повороте вокруг точки 
8. Параллельный перенос
Наглядно
параллельный перенос определяется как
преобразование, при котором точки одной
фигуры смещаются в одном и том же
направлении на равное расстояние.
Пусть
есть произвольная точка A (x; y) фигуры F
и точка A` (x+a; y+b) фигуры F`. Параллельным
переносом называется такое преобразование
фигуры F, при котором любая ее точка с
координатами (x; y) переходит в точку с
координатами (x+a; y+b), где a и b одни и те
же для всех точек (x; y).
7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Геометрическое
преобразование плоскости -
взаимно-однозначное отображение этой
плоскости на себя. Наиболее важными
геометрическими преобразованиями
являются движения, т.е. преобразования,
сохраняющие расстояние. Иначе говоря,
если 
-
движение плоскости, то для любых двух
точек 
этой
плоскости расстояние между
точками 
и 
равно 
.
Движения связаны с понятием равенства
(конгруэнтности) фигур: две
фигуры 
и 
плоскости
а называются равными, если существует
движение этой плоскости, переводящее
первую фигуру во вторую. Фактически
это определение использовал еще Евклид
(см. Геометрия), называвший две фигуры
равными, если одну из них можно наложить
на другую так, чтобы они совпали всеми
своими точками; под наложением здесь
следует понимать перекладывание фигуры
как твердого целого (без изменения
расстояний), т.е. движение.
Примерами
движений плоскости являются осевая и
центральная симметрия, параллельный
перенос, поворот. Как пример, напомним
определение параллельного переноса.
Пусть 
-
некоторый вектор плоскости 
.
Геометрическое преобразование,
переводящее каждую точку 
в
такую точку 
что 
(рис.
1), называется параллельным переносом
на вектор
.
Параллельный перенос является движением:
если точки 
и 
переходят
в
и 
,
т.е.
, 
,
то 
,
и потому 
.
Рис. 1
При
решении геометрических задач с помощью
движений часто применяется свойство
сохранения пересечения: при любом
движении
пересечение
фигур переходит в пересечение их
образов, т.е. если 
-
произвольные фигуры, то фигура 
переходит
в результате движения
в
фигуру 
.
(Аналогичное свойство справедливо для
объединения.)
Задача
1. Окружность, центр которой принадлежит
биссектрисе угла, пересекает его стороны
в точках 
и 
(рис.
2). Доказать, что 
.
Рис. 2
Решение.
Обозначим через 
одну
из сторон угла, а через 
-
круг, границей которого является
рассматриваемая окружность. При
симметрии 
относительно
биссектрисы угла луч
переходит
в луч 
,
который образует вторую сторону угла,
а круг
переходит
в себя: 
, 
.
Согласно свойству сохранения пересечения
фигура
переходит
в 
,
т. е. в 
.
Иначе говоря, отрезок 
переходит
в отрезок 
,
и потому
.