§ 8. Повторение опытов 169

формуле (14): P(B) = 0,997 · 0,997 · . . . · 0,997 = 0,997500 . Нас интересует

вероятность противоположного события: P(B) = 1 − P(B) = 1 − 0,997500 .

С помощью калькулятора или компьютера находим, что 0,997500 ≈ 0,2226.

Следовательно, P(B) = 1 − 0,997500 ≈ 1 − 0, 2226 = 0, 7774.

Упражнения

1. Найдите вероятность того, что два мотора на самолёте выйдут из строя, если вероятность

выхода из строя одного мотора не зависит от исправности других и равна 0,0001.

2. Вероятность того, что студент Громов сдаст экзамен по уголовному праву, равна 0,7, а

вероятность успешной сдачи им экзамена по гражданскому праву — 0,8. Какова вероятность

того, что он успешно сдаст: а) оба экзамена? б) по крайней мере один экзамен?

3. Ведутся поиски четырёх преступников. Каждый из них независимо от других может быть

обнаружен в течение суток с вероятностью 0,5. Какова вероятность того, что в течение суток

будет обнаружен хотя бы один преступник?

§ 8. Повторение опытов

Пример 8.1. Суд присяжных в составе пяти человек должен вынести ре

шение большинством голосов. Вероятность того, что каждый отдельный за

седатель выскажется за оправдание подсудимого, равна 2/3. Какова веро

ятность того, что подсудимый будет оправдан?

Решение. Подсудимый будет оправдан, если из пяти присяжных за его

невиновность выскажется не менее трёх, то есть 3, 4 или 5 членов суда. Ве

роятность этого события (назовём её P5 (3, 5)) нам и требуется найти. Рас

смотрим возможные варианты голосования. Пусть, например, первые трое

присяжных примут решение, что подсудимый не виновен, а остальные —

наоборот. Используя понятие произведения событий, это сложное событие

можно записать в виде H1 H2 H3 B4 B5 (событие H1 означает решение первого

заседателя «не виновен», H2 — решение второго «не виновен» и т. д.).

По условию задачи P(H1) = P(H2) = P(H3) = 2/3. Вероятности собы

тий B4 и B5 найдём по известному нам правилу: P(B4) = 1 − P(H4) = 1/3,

P(B5) = 1 − P(H5) = 1/3. Будем считать, что работа суда проходит в иде

альных условиях: каждый член коллегии принимает решение независимо

от других. Тогда можно воспользоваться теоремой умножения вероятностей

для независимых событий:

P(H1 H2 H3 B4 B5) = P(H1)P(H2)P(H3)P(B4)P(B5) =

= 2/3 · 2/3 · 2/3 · 1/3 · 1/3 = 8/243.

Но возможны и другие комбинации вида «3+2», при которых три голоса

подаются в пользу подсудимого, а два — против него. Например, комбина

ция H1 B2 H3 H4 B5 означает, что в пользу обвиняемого высказались первый,

третий и четвёртый члены коллегии, а против него — второй и пятый. Ясно,

что вероятность такой комбинации голосов также будет равна 8/243.

170 Глава VI. Понятие вероятности

Сколько же всего будет подобных комбинаций? Согласно определению

сочетания, данному в предыдущей главе, мы должны найти число сочетаний

из пяти элементов по три. Пользуясь полученными там формулами, нахо

3 2 5·4

дим: C5 = C5 = = 10. Итак, всего будет 10 комбинаций, для каждой

1·2

из которых получаем вероятность 8/243. Теперь мы можем найти вероят

ность того, что из пяти присяжных каких-либо 3 высказались за оправда

ние, а 2 — против. Обозначим эту вероятность P5 (3). По теореме сложения

вероятностей находим: P5 (3) = 8/243 · 10 = 80/243. Если мы внимательно

проследим ход наших рассуждений ещё раз, то заметим, что все проделан

ные вычисления можно объединить следующей формулой:

P5 (3) = C5 (2/3) 3 (1/3) 2 .

3

Но подсудимый будет оправдан и при других исходах голосования, в

которых за него подано 4 или 5 голосов. Вероятность P5 (5) того, что все

присяжные проголосуют за освобождение, найти просто. Она равна

P5 (5) = P(H1 H2 H3 H4 H5) = C5 (2/3) 5 = 32/243.

5

Для вычисления вероятности P5 (4) голосования «4 + 1» нужно опять

перебирать все возможные варианты, при которых какие-либо четверо при

сяжных голосуют «за», а один — «против». В итоге мы придем к аналогич

ной формуле:

P5 (4) = C5 (2/3) 4 (1/3) 1 = 5 · (16/81) · (1/3) = 80/243.

4

Теперь, наконец, мы можем найти вероятность P5 (3,5) оправдательного

приговора. По теореме сложения вероятностей

P5 (3, 5) = P5 (3)+P5 (4)+P5 (5) = 80/243+80/243+32/243 = 192/243 ≈ 0,79.

Задачу мы решили. Но проводить подобные рассуждения каждый раз

утомительно и непродуктивно. Математики давно нашли схему, по которой

решаются подобные задачи. Эта схема изучения повторяющихся опытов

называется схемой Бернулли. Изложим её в наиболее общем виде.

Пусть один и тот же опыт повторяется в одинаковых условиях n раз (в

задаче опытом является голосование члена коллегии, n = 5). В каждом опы

те может появиться событие A с одной и той же вероятностью p (событие

в нашей задаче — голосование за оправдание, p = 2/3). Возьмём какое

нибудь целое число m, меньшее n, и найдём вероятность того, что в n опытах

событие A появится ровно m раз. Эту вероятность обозначают Pn (m). Она

вычисляется по формуле

Pn (m) = Cn p m (1 − p) n−m ,

m

m = 0, 1, 2, . . . n, (15)

которую нашел швейцарский математик Якоб Бернулли. В задаче мы нашли

вероятности P5 (3) = 80/243, P5 (4) = 80/243, P5 (5) = 32/243.