Нетрадиційні магічні квадрати

Задача 5. Переставте розміщені в клітинках квадрата числа 1, 2, 3, так, щоб суми чисел у рядках, стовпчиках та діагоналях були однакові (рис. 59).

Відповідь. Див. рис. 60.

Задача 6. Переставте розміщені в клітинках квадрата числа 1,2,3,4, і 5, так, щоб суми чисел у рядках, стовпчиках та діагоналях були однакові і на жодній із названих ліній не стояли б однакові числа (рис. 61).

Відповідь. Див. рис. 62.

Задача 7. Розмістіть у 9 клітинках квадрата 3 x 3 числа 0, 1 і 2 так, щоб суми чисел у рядках, стовпцях та діагоналях були однакові.

Відповідь. Див. рис. 63-65

Зауваження. Утворені квадрати іноді використовують для побудови магічних квадратів непарних порядків за методом Делаіра.

Задача 8. Розмістіть у 9 клітинках квадрата 3 x 3 числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 і 10 так, щоб суми чисел у рядках, стовпчиках та діагоналях були однакові і дорівнювали числу 18.

Відповідь. Див. рис. 66.

Задача 9. Розмістіть у 9 клітинках квадрата 3 x 3 числа 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 і 8 так, щоб суми чисел у рядках, стовпчиках та діагоналях були однакові і дорівнювали числу 12.

Відповідь. Див. рис. 67.

Задача 10. Розмістіть 8 двійок у клітинках квадрата 4 x 4 так, щоб виконувалися магічні властивості: суми чисел у рядках, стовпцях та діагоналях були однакові.

Відповідь. Див. рис. 68 – 73.

Задача 11. У 16 клітинках квадрата 4 x 4 розмістили числа від 1 до 8, використавши їх по 2 рази кожне (рис. 74). Переставте числа так, щоб їх суми у рядках, стовпчиках та діагоналях дорівнювали 18. Таку саму суму повинні складати: а) числа, що стоять у кутах квадрата; б) числа будь-якого квадрата, що складається з чотирьох сусідніх клітинок; в) числа, розміщені по кутам будь-якого квадрата, що складається із 9 сусідніх клітинок (при цьому жодне з чисел у кожній із цих сум не повинно повторюватися).

Відповідь. Див. рис. 75.

Задача 12 (магічні добутки). Розмістіть у 9 клітинках квадрата 3 x 3 числа, які не повторюються так, щоб їх добутки у рядках, стовпчиках та діагоналях були однакові.

ОСМ. До цього часу ще не складено магічного квадрата з такими властивостями з послідовних чисел. Щодо довільного набору чисел, то це можна зробити, використавши наприклад один із магічних квадратів 3 х 3 і правило множення степенів з однаковою основою (рис. 76—78).

Наведені вище магічні квадрати не вичерпують усіх їх видів. За бажанням учитель може продовжити їх вивчення, додавши ще такі види як правильні магічні квадрати 4 х 4 (усі чотири квадрати 2 х 2, що його утворюють, також є магічними), панмагічні квадрати (рівними є суми не тільки в рядках, стовпцях і діагоналях, а й суми в так званих ламаних діагоналях).

Заповнення магічних квадратів є цікавими задачами, які слід розглядати і в старших класах, наводячи під час вивчення їх властивостей теоретичні обґрунтування.

Зокрема можна показати, що будь-які дев’ять чисел, які утворюють арифметичну прогресію, можна розмістити в квадраті 3 x 3 (рис. 79).

Магічна константа такого квадрата дорівнює 3а + 12d. Крім того, якщо а =1 і d=1, то отримаємо відомий магічний квадрат заповнений першими дев’ятьма натуральними числами.