2. Скорость и ускорение точки

Заметим, что не зависят от переменной t.

При получаем

3. Касательное и нормальное ускорение точки при

4. Радиус кривизны траектории при

Ответ:

Задача К 1б. Точка движется по дуге окружности радиуса R = 2 м по закону , (s — в метрах, t — в секундах), где s = АM — расстояние точки от некоторого начала A, измеряемое вдоль дуги окружности. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t=1 с. Изобразить на рисунке векторы считая что точка в этот момент находится в положении M, а положительное направление отсчета s – от А к М

Исходные данные для расчета:

Решение:

Определяем скорость точки

при получим

Ускорение находим по его нормальной и касательной составляющим:

Тогда полное ускорение точки при будет равно

M

A

Рис. К.1.6.б)

Изобразим на рис. К.1.6.б) векторы , учитывая знаки , и считая положительным направление от А к М.

Задача к-2

Плоский механизм состоит из стержней 1, 2, 3,4 и ползуна В (рис. К3.6.), соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О₁, О₂ шарнирами; точка D находится в середине стержня АВ. Длины стерж­ней равны соответственно:

. Положение механизма определяется углами .

Заданные угловую скорость и угловое ускорение считать направ­ленными против часовой стрелки, а заданные скорость н ускорение — от точки В к b (рис. К3.5). На рис.К.3.6 показана схема механизма.

Исходные данные для расчета:

Найти:

Решение:

2 A 1

D

B

3

b

4

E

Рис. К 3.6

1. Построение плана скоростей начнем с ведущего звена ав.

Найдем скорость точки А по формуле:

.

Выбираем на плоскости произвольную точку р — полюс плана скоростей, которая является началом отсчета (т.е. в этой точке все скорости равны нулю.), и откладываем на ней вектор pa, перпендикулярно звену АО₁. Точка a на плане скоростей соответствует точке A на плане механизма.

Длина отрезка рa изображает на плане скоростей вектор V_A скорости точки A и выбирается произвольно, исходя из того, что весь план скоростей займет на чертеже площадь около 100 см².

Примем длину вектора ра равной 30 мм-ч, тогда мас­штабный коэффициент плана скоростей будет:

и покажет, сколько метров в секунду действительной величины скорости содержится в одном миллиметре отрезка чертежа.

Известно направление и траектория движения точки A со скоростью в данный момент времени Рассмотрим группу Ассура, образованную звеньями 1 и 2. Шатун 2 совершает плоскопараллельное движение, ползун прямолинейное поступательное движение (частный случай плоскопараллельного движения). Найдем скорость движения точки B, которая одновременно принадлежит звену АВ и звену . Где точка точка, связанная с неподвижной направляющей ползуна (стойкой). Составим систему двух векторных уравнений, которая связывает искомую скорость точки со скоростями других характерных точек Так как звено 2 совершает плоскопараллельное движение, то скорость точки B будет равна скорости точки A, сложенной векторно со скоростью точки А (относительная скорость обозначается )

Здесь двойной индекс BA показывает, что скорость является относительной и точка B движется относительно точки A. По другому скорость точки В находится так:

b

d

p e

a

Рис. 3.6.1 План скоростей

Таким образом, получим систему двух векторных уравнений:

Под вектором ставим две черты, если он известен по величине и по линии действия и одну величину, если известен только один из этих параметров.

В этой системе уравнений известны по модулю и линии действия векторы скоростей точек A и (скорость точки равна нулю, т.к. она связана со стойкой). Векторы относительных скоростей неиз­вестны по величине, но известны их линии действия. Вектор перпендикулярен к звену АВ, а вектор параллелен прямой Вb (рис. К3.8). Векторы абсолютных скоростей выходят из полюса, а век­торы относительных скоростей не проходят через полюс р.

Система (6) может быть решена графическим методом, пу­тем построения плана скоростей.

В соответствии с первым уравнением системы (6) на плане скоростей через точку a проводим прямую, перпендикулярную к звену АВ. Это линия действия вектора , а в соответствии со вторым уравнением через полюс p (точка на плане механизма – совпадает с полюсом р) проводим на плане прямую параллельную прямой Bb на плане механизма. Это линия действия вектора . Точка пересечения этих двух прямых определит точку , которая является концом вектора , изображающего на плане вектор скорости . Вектор на плане механизма изображает вектор относительной скорости точки A относительно точки B: . Вектор абсолютной скорости совпадает с вектором относительной скорости . На плане скоростей они изображаются вектором .

Для определения действительной величины любого из по­лученных векторов достаточно умножить соответствующий от­резок плана скоростей на масштаб плана скоростей . Результат записываем с точностью до трёх значащих цифр. Из плана ско­ростей определим длину отрезка pb, который позволит найти скорость точки B

Чтобы определить скорость точки D, которая принадлежит звену ADB, воспользуемся свойством подобия и сначала найдем величину вектора . Величину ad находим из пропорции:

следовательно, точка d лежит на середине отрезка ab. Соединяя точки p и d, получим искомый вектор pd. Измерим его и найдем скорость точки D

Рассмотрим следующую группу Ассура – звено 3 и звено 4.

Система уравнений для точки Е будет иметь следующий вид:

. Производим соответствующие построения и находим на плане точку e. Замеряем отрезок pe и умножаем на масштабный коэффициент:

Чтобы найти угловую скорость , надо скорость точки B относительно точки A (т.е. скорость ) разделить на длину звена AB: