31.3. Головний вектор і головний момент сил інерції

Застосування принципу Д’Аламбера для рухомої механічної системи вимагає вміння обчислювати головний вектор і головний вектор-момент сил інерції.

Знаючи вектори та та їхні проекції на кожну з трьох координатних осей, можна скласти рівняння (31.7) для зв’язаної механічної системи, що рухається прискорено, з яких потім визначити невідомі величини.

Сили інерції точок механічної системи у загальному випадку утворюють довільну просторову систему сил, яку за допомогою метода Пуансо можна привести до найпростішого вигляду.

Головний вектор сил інерції дорівнюватиме

. (31.8)

Запишемо формулу для визначення радіус-вектора центра мас механічної системи:

, де ,

Похідна за часом:

,

звідки

.

Оскільки вираз в дужках формули (31.8) являє собою суму кількості руху точок заданої механічної системи, то зважаючи на попереднє, маємо:

,

Остаточно маємо:

. (31.9)

З іншого боку

і тому

. (31.10)

Отже, головний вектор всіх сил інерції точок механічної системи дорівнює взятій з від’ємним знаком векторній похідній за часом від головного вектора кількості руху механічної системи (31.9), або взятим з від’ємним знаком добутку маси системи на вектор прискорення центра мас цієї системи (31.10).

Головний вектор-момент сил інерції відносно будь-якого нерухомого центра дорівнює

.

Тут – кінетичний момент механічної системи відносно нерухомого центра.

Таким чином, остаточно

. (31.11)

Отже, головний вектор-момент сил інерції точок системи відносно нерухомого центра дорівнює взятій з від’ємним знаком векторній похідній за часом від кінетичного моменту даної системи відносно того самого центра (31.11).

Лекція 32 застосування принципу д’аламбера

32.1. Зведення сил інерції точок твердого тіла до найпростішого вигляду при поступальному, обертальному та плоскопаралельному русі

І. Поступальний рух тіла.

При поступальному русі твердого тіла всі його точки мають геометрично рівні швидкості і прискорення, які дорівнюють швидкості і прискоренню центра мас.

Приймемо центр мас тіла за центр зведення сил інерції. Оскільки обертання тіла навколо центра мас не відбувається, то головний вектор-момент сил інерції відносно центра мас дорівнюватиме нулю, тобто .

Отже, при поступальному русі твердого тіла сили інерції його точок зводяться до рівнодійної, що дорівнює головному вектору, яка прикладена в центрі мас тіла та має напрям, протилежний до напряму вектора прискорення:

. (32.1)

ІІ. Обертання тіла, що має площину матеріальної симетрії, навколо нерухомої головної центральної осі.

В цьому випадку центр мас тіла лежить на осі обертання і є нерухомим, тобто його прискорення , тоді:

.

Кінетичний момент тіла, що обертається відносно осі обертання, дорівнює:

.

При цьому головний вектор – момент сил інерції дорівнюватиме:

або

. (32.2)

Отже, при обертанні твердого тіла навколо головної центральної нерухомої осі сили інерції точок тіла зводяться до пари сил, що лежить в площині матеріальної симетрії, а вектор – момент цієї пари дорівнює добутку момента інерції тіла на вектор кутового прискорення і має напрям, протилежно до напряму вектора кутового прискорення.

ІІІ. Плоскопаралельний рух твердого тіла, що має площину матеріальної симетрії.

Нехай тіло, що має площину матеріальної симетрії, рухається так, що всі його точки рухаються паралельно до цієї площини (рис. 32.1).

Цей рух можна розкласти на поступальний разом із центром мас т. С і на обертальний рух навколо рухомої осі , яка перпендикулярна до площини симетрії і проходить через центр мас.

Як відомо, при поступальному русі сили інерції зводяться до головного вектора , а при обертальному русі навколо головної центральної осі сили інерції зводяться до пари сил з вектором-моментом , тобто тут маємо два фактори сил інерції:

і . (32.3)

О тже, при русі твердого тіла, що має площину матеріальної симетрії, паралельно до цієї площини, сили інерції точок тіла зводяться до однієї сили, що лежить в площині матеріальної симетрії, яку прикладено в центрі мас, що дорівнює головному вектору сил інерції , та до однієї пари сил, яка лежить в площині матеріальної симетрії, з вектор-моментом , що дорівнює головному моменту сил інерції відносно рухомої осі , яка проходить через центр мас перпендикулярно до площини мате-ріальної симетрії тіла (рис. 32.1).

Приклад. Кільце, радіуса і маси , котиться без ковзання за прямолінійною дорогою, маючи в даний момент часу швидкість центра та прискорення (рис. 32.2). Знайти два фактори сил інерції, які діють на колесо в даний момент часу.

Р озвязання. Точка дотику колеса і поверхні т.Р –МЦШ. Тоді . Т.С – центр мас колеса.

Враховуючи (32.3) маємо

та .

Покажемо на рисунку їх напрямки.

За модулем і , де .

Тоді остаточно маємо .