Графическая работа №1. Задача лист 1

Построить линию пересечения MN двух плоскостей плоскости Ω(АВС) и ∑ (EDK) .

Данные для своего варианта взять из таблицы 1.

Для решения задачи необходимо изучит следующий теоретический материал:

- Образование проекций;

- Точка и прямая. Образование чертежа точки в системе двух и трех плоскостей проекций. Проекции отрезка прямой линии. Положение прямой относительно плоскостей проекций. Точка на прямой. Взаимное положение двух прямых.

- Плоскость. Способы задания плоскости на чертеже. Положение плоскости относительно плоскостей проекций. Прямая и точка в плоскости. Прямые особого положения.

- Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости. Пересечение прямой линии с плоскостью. Построение линии пересечения двух плоскостей.

Решение.

1. На листе формата А4 (210х297 мм) намечают оси координат (x, y, z). Из таблицы 1, согласно своему варианту, берутся координаты точек А, В, С, D, E, K вершин двух треугольников. Для примера рассмотрим построение точки А, имеющей значения по координатам X_A=117, У_А=90, Z_A=10. Для построения проекции точки А откладываем рис.1 на оси Х от О расстояние, равное значению абсцисс (X_A=117), и отмечаем точку А_Х. Из полученной точки проводится перпендикулярно оси Х вертикальная линия проекционной связи. Линиями проекционной связи называются линии, связывающие пары проекций одной и той же точки и перпендикулярные оси проекций. Над осью Х вверх по вертикальной линии связи от точки А_Х откладываем значение аппликат (Z_A=10), что определяет фронтальную проекцию точки А-А₂. Под осью Х вниз по вертикальной линии связи от точки А_Х откладываем значение ординат (У_А=90), что определяет горизонтальную проекцию точки А- А₁. Аналогично строятся остальные проекции точек, определяющие вершины треугольников Ω(АВС) и ∑ (EDK) рис.2.

2. Известно, что две плоскости пересекаются по прямой линии. Проекции прямой линии пересечения двух плоскостей общего положения определяются проекциями двух точек, принадлежащих одновременно обеим плоскостям. Задача на построение линии пересечения двух плоскостей проекций называется второй основной позиционной задачей и ее можно решить двумя способами:

2.1. Построить точки пересечения двух прямых, принадлежащих одной из плоскостей проекций, с другой плоскостью, то есть нахождение точки пересечения прямой линии, которая является одной из сторон треугольника, с плоскостью другого треугольника.

2.2. Ввести две вспомогательные секущие плоскости частного положения, построить их линии пересечения с заданными плоскостями. Две соответственные точки пересечения этих линий определят искомую линию пересечения данных плоскостей. Для решения задачи воспользуемся вторым способом.

Чтобы найти точку М пересечения прямой с плоскостью, необходимо через сторону АВ треугольника АВС провести вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость Г (Г₁) (рис. 3). Плоскость Г пересечет плоскость треугольника EDK по прямой линии 12. Обозначаем на горизонтальной плоскости проекций горизонтальную проекцию линии 1₁2_1.. Находим фронтальную проекцию линии 12 (1₂2₂) по принадлежности точки 1 стороне ЕD треугольника EDK, точки 2 стороне ЕК. Фронтальная проекция точки М (М₂) находится на пересечении фронтальных проекций линии 12(1₂2₂) и стороны треугольника АВ (А₂В₂). Горизонтальную проекцию точки М (М₁) находим по принадлежности точки М стороне АВ треугольника АВС.

Аналогично определяется вторая точка N пересечения плоскостей рис.4. Для этого проводим через сторону DK треугольника EDK вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Q (Q₂). Плоскость Q пересечет плоскость треугольника EDK по прямой линии 34. Обозначаем на фронтальной плоскости проекций фронтальную проекцию линии 3₁4_1.. Находим горизонтальную проекцию линии 34(3₁4₁) по принадлежности точки 3 стороне АВ треугольника АВС, точки 4 стороне АС. Горизонтальная проекция точки N (N₂) находится на пересечении горизонтальных проекций линии 34(3₁4₁) и стороны треугольника DK(D₁K₁).Фронтальную проекцию точки N (N₂) находим по принадлежности точки N стороне DK треугольника ED.

Соединив найденные точки MN(M₁ N₁ и M₁ N₁) получим искомую линию пересечения данных плоскостей рис.5.

После построения линии пересечения MN двух плоскостей Ω(АВС) и ∑ (EDK) определяют их видимость. Для этого воспользуемся методом конкурирующих точек. Конкурирующими точками называются такие точки пространства, у которых совпадают какие-либо две одноименные проекции. Так на рисунке 6 показаны конкурирующие точки 1 и 5 ( совпадают горизонтальные проекции 1₁=5₁). Аналогично на рисунке 7 показаны конкурирующие точки 3 и 6 (совпадают фронтальные проекции 3₂=6₂).

Метод конкурирующих точек заключается в определении взаимной видимости точек по их несовпадающим проекциям. Согласно правилу большей координаты точка 1 находится выше точки 5относительно плоскости П₁, поэтому на плоскости П₁ видимой считается точка 1, которая закрывает точку 5 (считается, что наблюдатель смотрит на горизонтальную плоскость проекций из бесконечности по направлению, указанному по стрелке рис. 6. Так как точка 1 принадлежит стороне ЕD плоскости треугольника EDK и расположена выше точки 5, принадлежащей стороне АВ плоскости треугольника АВС, то сторона треугольника ED в горизонтальной плоскости будет полностью видимой, а сторона АВ треугольника АВС от точки 5(5₁) до точки М(М₁) будет в горизонтальной плоскости невидима.

На плоскости П₂ рис. 7 видна точка 6, так как она находится ближе к наблюдателю и дальше от плоскости П₂ и закрывает невидимую точку 3. Так как точка 6(6₁) расположена на стороне DK (D₁K₁) плоскости треугольника DEK, то сторона DK от точки D(D₂) от точки N(N₂) в плоскости П₂ будет видимая.

Обводим сплошной основной линией видимые стороны треугольников, а невидимые- тонкой штриховой линией.

№ варианта	Ха	Уа	Za	Xb	Yb	Zb	Xc	Yc	Zc	Xd	Yd	Zd	Xe	Ye	Ze	Xk	Yk	Zk
1	117	90	9	52	25	79	0	83	48	68	110	85	135	19	36	14	52	0
2	120	90	10	50	25	80	0	85	50	70	110	85	135	20	35	15	50	0
3	115	90	10	52	25	80	0	80	45	64	105	80	130	18	35	12	50	0
4	120	92	10	50	20	75	0	80	46	70	115	85	135	20	32	10	50	0
5	117	9	90	52	79	25	0	48	83	68	85	110	135	36	19	14	0	52
6	115	7	85	50	80	25	0	50	85	70	85	110	135	20	20	15	0	52
7	120	10	90	48	82	20	0	52	82	65	80	110	130	38	20	15	0	52
8	116	8	88	50	78	25	0	46	80	70	85	108	135	36	20	15	0	52
9	115	10	92	50	80	25	0	50	85	70	85	110	135	35	20	15	0	50
10	18	10	90	83	79	25	135	48	82	67	85	110	0	36	19	121	0	52
11	20	12	92	85	89	25	135	50	85	70	85	110	0	35	20	120	0	52
12	15	10	85	80	80	20	130	50	80	70	80	108	0	35	20	120	0	50
13	16	12	88	85	80	25	130	50	80	75	85	110	0	30	15	120	0	50
14	18	12	85	85	80	25	135	50	80	70	85	110	0	35	20	120	0	50
15	18	90	10	83	25	79	135	83	48	67	110	85	0	19	36	121	52	0
16	18	40	75	83	117	6	135	47	38	67	20	0	0	111	48	121	78	86
17	18	75	40	83	6	107	135	38	47	67	0	20	0	48	111	121	86	78
18	117	75	40	52	6	107	0	38	47	135	0	20	86	48	111	15	68	78

Таблица 1.

Приложение 1.

Рис. 1-7.