Глава XI

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ

§ 96. Диэлектрическая проницаемость кристаллов

Свойства анизотропной среды по отношению к электромаг­нитным волнам определяются тензорами e._/ft(co) nu_rt(co), устанав­ливающими связь между индукцией и напряженностью согласно формулам*)

А- = е,-*(со)£*. 5,-= и,, (со) Я,. (96,1)

Ниже мы для определенности говорим об электрическом поле и тензоре &_ik; все получаемые результаты полностью справедливы и для тензора \i_lk.

При со —► 0 величины г_!к принимают свои статические значе­ния, для которых в § 13 была доказана симметричность по индексам i, k. Это доказательство имело чисто термодинамиче­ский характер и поэтому относилось лишь к термодинамически равновесным состояниям. В переменном же поле состояние ве­щества, разумеется, не равновесно, и потому указанное доказа­тельство неприменимо. Для выяснения свойств тензора г,_к надо теперь обратиться к обобщенному принципу симметрии кинети­ческих коэффициентов (см. V § 125).

Напомним, что фигурирующие в формулировке этого прин­ципа обобщенные восприимчивости а_аЬ (со) определяются по отклику системы на возмущение вида

(где х_а—ряд величин, характеризующих систему) и представляют собой коэффициенты в линейной связи между фурье-компонен-тами средних значений x_a(t) и обобщенных сил f_a(t):

^хаа — ^а_аЬ (^ш) fbas ■

Изменение энергии системы со временем под влиянием возмуще­ния выражается формулой

') Напомним, что все величины относятся к переменному полю в волне. Возможное же наличие постоянной индукции (в пироэлектрическом или фер­ромагнитном кристалле) не имеет отношения к рассматриваемым здесь во­просам.

U = -&

Согласно принципу симметрии,

если система не находится во внешнем магнитном поле и не обладает магнитной структурой; в противном случае a_bo(co) надо взять для «обращенной по времени» системы.

Легко связать компоненты тензора e,_fc(co) с обобщенными восприимчивостями. Для этого замечаем, что скорость изменения энергии диэлектрического тела в переменном электрическом поле дается интегралом

^{l^^dV. (96,2)}

Сравнив с написанными выше формулами, мы видим, что если выбрать в качестве величин х_а значения компонент вектора Е в каждой точке тела, то соответствующими величинами f_a будут компоненты d (причем индекс а пробегает Непрерывный ряд зна­чений, нумеруя как компоненты векторов, так и точки тела). Роль коэффициентов а_аЬ будут играть компоненты тензора е^¹; но все свойства симметрии обратного и прямого тензоров, разу­меется, совпадают. Поскольку в интеграле (96,2) перемножа­ются значения Е и Ь лишь в одинаковых точках тела, то пере­становка индексов а и b фактически сводится к перестановке только тензорных индексов. Таким образом, мы приходим к вы­воду, что тензор t_ik симметричен¹):

e_rt((o) = e„((o). (96,3)

Заметим, что под определение обобщенных восприимчивостей подпадают также и компоненты тензора поляризуемости тела как целого, т. е. коэффициенты в равенствах

Действительно, изменение энергии тела, внесенного во внешнее переменное поле ©, дается формулой

(9М)

Отсюда видно, что если величинами х_а являются три компоненты вектора то соответствующими величинами f_a будут компо­ненты вектора ©, так что коэффициенты а_аЬ совпадают с Va_ik.

^]) Свойства тензора е,^ при наличии внешнего магнитного поля будут рассмотрены в § 101.

Ряд формул, полученных ранее для изотропной среды, непо­средственно обобщается на анизотропный случай. Повторив произведенный в § 80 вывод, найдем, что диссипация энергии в монохроматическом электромагнитном поле дается формулой

<2 = iSr {К*~^е*«^:) ^Е1^Е* + Мь-Ры) ВДЕ}, (96,5)

аналогичной формуле (80,5). Условие же отсутствия поглощения состоит в равенстве z\_k = e_s,- = e,-_fe, т. е. в вещественности всех e_ik (и то же самое для \i_ik).

В отсутствие поглощения может быть определена, как было показано в § 80, электромагнитная внутренняя энергия единицы объема тела. Для анизотропной среды она дается формулой

^{V = Ш {I Е& +1 Н№} • (96,6)}

аналогичной (80,11).

В § 87 было введено понятие о поверхностном импедансе £, с помощью которого могут быть сформулированы граничные усло­вия на поверхности металла даже в тех случаях, когда понятие диэлектрической проницаемости теряет смысл. На поверхности анизотропного тела граничное условие, аналогичное (87,6), должно быть написано в виде

£«=U[Hn]_p, (96,7)

где £_ар(^ш)—двумерный тензор на поверхности тела. Следует иметь в виду, что значения этого тензора, вообще говоря, зави­сят и от кристаллографического направления грани кристалла. Поток энергии, втекающий внутрь тела, есть

^[EH]n = ^E[Hn]^^£_a[Hn]_a

(здесь Е и Н вещественны). Отсюда видно, что если при приме­нении принципа симметрии выбрать в качестве величин х_а ком­поненты Е_а, то соответствующими }_а будут —[Нп]_а, т. е. (воз­вращаясь к комплексному представлению) величинами f_а будут — (t/w)[Hn]_a. Поэтому коэффициенты а_аЬ совпадают, с точностью до множителя, с компонентами £_а(3, и мы приходим к выводу, что

U = U (96,8)

(в отсутствие внешнего магнитного поля).

Задача

Выразить компоненты тензора £_ар через компоненты тензора r|_ap =в~р (предполагая, что последний существует); тело немагнитно (p;,-_fc = 6,-^).

Решение. В анизотропном случае равенство (87,2) £³=1/е заменится следующим:

SavSvP = ЛаЗ •

В компонентах:

С|₁ + ?12$21 = Т]11, ^₂+?12?21 = %2, Sl2 (£ll+£22)^=Tll2> S21 ^22) = Л21-

Решение этих уравнений:

£i2 = W&> £21 = 421/?, ?n= jhii ± УчпЧгг — Л12Л21]. £22 = у [422 ± ^Лич22 —Л12Л21]

(£²=чп+Ч2₂ ± 2 ^ЛиЛгг —r|i2N2i)-

Выбор знаков определяется условием положительности поглощения энергии. Мы не предполагаем равенства £i2=£₂i> допуская тем самым также и приме­нение к случаю наличия внешнего магнитного поля.