§ 69. Магнитогидродинамические волны

Рассмотрим распространение малых возмущений в однородной проводящей среде, находящейся в однородном постоянном маг­нитном поле Н₀. При этом будем рассматривать жидкость как идеальную, т. е. пренебрежем всеми процессами диссипации в ней^х).

Исходим из системы магнитогидродинамических уравнений (65,1—4). Уравнение же адиабатичности (65,6) означает лишь, что, если невозмущенная среда однородна, то и в возмущенной среде будет s = const, т. е. движение изэнтропично.

Полагаем

H = H₀ + h, р = р₀ + р', р = р₀ + р';

где индексом 0 отмечены постоянные равновесные значения ве­личин, a h, р', Р'—их малые изменения в волне. Малой того же порядка является и скорость v, равная нулю в равновесии. Ввиду изэнтропичности движения изменения плотности и давления свя­заны друг с другом равенством

Р' = и!р',

где и\ = (dP/dp)_s — квадрат обычной скорости звука в данной среде. Пренебрегая в уравнениях (65,1—4) малыми величинами порядка выше первого, получим следующую систему линейных уравнений:

divh = 0, ^- = rot[vh], ^- + pdivv = 0,

5T = -_TVP -^[Hroth].

Здесь и ниже для краткости обозначений индекс 0 у равновесных значений величин опускается.

Ищем решение этих уравнений в виде плоской волны coeⁱ⁽-^kT~^at\ Тогда система (69,1) сводится к системе алгебраических уравнений

—coh = [k[vH]], cop' = pkv,

■ и\ i * 1 _rHrilill (69,2)

*) Условие допустимости такого пренебрежения состоит в малости коэф> фициента затухания волн, который вычислен в задаче к этому naDaroacbv.

-c0v + —pk = -^[H[kh]]

(равенство же kh = 0, следующее из divh = 0, выполняется авто­матически и может отдельно не рассматриваться).

Первое из уравнений (69,2) показывает, что вектор h перпен­дикулярен к волновому вектору, направление которого выберем в качестве оси х. Плоскость же, проходящую через к и Н, выбе­рем в качестве плоскости ху. Кроме того, введем фазовую ско­рость волны u = a>lk. Исключив р' из третьего уравнения с по­мощью второго и переписав уравнения в компонентах, получим следующую систему:

uh_y = v_xH_y-v_yH_x, uv_y=~-^-h_y,

2 \ H (69,4)

uh_z = — v_zH_x, uv_z = — j^h_z, (69,3)

j

4лр

^к 4лр У

Мы разбили здесь уравнения на две группы, из которых пер­вая содержит только переменные h_z, v_z, а вторая—только п_у, v_x, v . Отсюда следует, что возмущения этих двух групп пере­менных распространяются независимо друг от друга. Что касается возмущений плотности (а с нею и давления), то они распростра­няются вместе с возмущениями h_y, v_x, v_y, будучи связаны с v_x соотношением

Р'= (69,5)

Условие совместности двух уравнений (69,3) дает

« = -L^L = «a (69,6)

У 4лр

(ниже будем считать, что Н_х > 0 и опускать знак модуля). В этих волнах испытывает колебания компонента h_z магнитного поля, перпендикулярная к направлению распространения волны и направлению постоянного поля Н. Вместе с h_z колеблется ско­рость v_g, связанная с h_z посредством

^v°=-vW- ⁽⁶⁹'⁷⁾

Связь между со и к (закон дисперсии), даваемая формулой (69,6), существенно зависит от направления волнового вектора

^ю=74=г^нк- (ад

Физической же скоростью распространения волн является груп­повая скорость — производная dco/dk. В данном случае она равна

дк

У~4лр

5со Н

(69,9)