§ 15. Электрические силы в жидком диэлектрике

Вопрос о вычислении сил (их называют пондеромоторными), действующих на диэлектрик в произвольном неоднородном элек­трическом поле, довольно сложен и требует раздельного рассмот­рения для жидких (или газообразных) и твердых тел. Мы нач­нем с более простого случая жидких диэлектриков.

Будем обозначать посредством f dV силу, действующую на элемент объема среды dV, вектор f можнъ назвать объемной плотностью сил.

Как известно, силы, действующие на какой-либо конечный объем тела, могут быть сведены к силам, приложенным к по­верхности этого объема (см. VII § 2). Это обстоятельство явля­ется следствием закона сохранения импульса. Сила, действующая на вещество в объеме dV, представляет собой изменение его им­пульса в единицу времени. Это изменение должно быть равно количеству импульса, втекающего в течение того же времени в этот объем через его поверхность. Если обозначить тензор пото­ка импульса через —a_ik, то

(15,1)

где интегрирование в правой части равенства производится по поверхности объема V. Тензор a_;k называют тензором напряже­ний. Очевидно, что

Gikdf_k = e_;kn_kdf

есть 1-я компонента силы, действующей на элемент поверхности df (п—единичный вектор нормали к поверхности, внешней по отношению к данному объему).

Аналогичным образом сводится к интегралу по поверхности также и полный момент сил, действующих на данный объем, чем обеспечивается выполнение закона сохранения момента им­пульса. Как известно, возможность этого сведения связана с сим­метричностью тензора напряжений (o_ik = a_ki); последняя является, таким образом, выражением закона сохранения момента импульса.

Преобразуя интеграл по поверхности в (15,1) в интеграл по объему, получим

и отсюда, ввиду произвольности объема интегрирований,

Это — известная формула, выражающая объемные силы через тен­зор напряжений.

Приступим теперь К вычислению тензора напряжений. Каж­дый малый участок поверхности можно рассматривать как плб-ёкйй; а тело и электрическое поле вблизи него—как однородные. Поэтому для упрющения вывода мы можеМ) без всякого ограни­чения общности, рассмотреть однородный (пО составу, плотности и температуре) плоскЬпараллельньш слой вещества (толщины h), находящийся в однородном электрическом поле¹). Это поле можно представлять себе как создаваемое приложенными к поверхности слоя проводящими плоскостями (обкладками конденсатора).

Следуя общему методу определения сил, подвергнем оДну из обкладок («верхнюю») параллельному виртуальному смещению на бесконечно малую величину |; направление 1 произвольно и не обязательно Совпадает с направлением нормали п. Будем считать, что потенциал проводника (в каждой его точке) остается при смещений неизменным, а вызываемая этим смещением однородная деформация слоя диэлектрика — изотермична.

На единицу площади поверхности действует со стороны самого тела (слоя) сила —o_ikn_k. При виртуальном смещений эта сила производит работу —cr₍-_fen_fe£,-. С Другой стороны, работа₍ прбиз-водимая при изотермической деформации и постоянных потен­циалах проводников, равна убыли величины \FdV или (на еди­ницу площади поверхности слоя) величины hF. Таким образом,

e_ik$_in_k = 8(hF) = h8F + F6h. (15,3)

Термодинамические величины жидкости зависят (при данных температуре и напряженности поля) только от ее плотности; деформации, не меняющие плотности' (деформации сдвига), не отражаются на термодинамическом состоянии. Поэтому для изо­термической вариации 8F в жидкости пишем

^tf_{-(#)r..«+(#)..,*—^+(1)..,*- см)}

*) Тем самым мы отбрасываем в тензоре напряжений члены, которые могли бы зависеть от градиентов температуры, поля и т. п. Эти члены, однако, исче-зающе малы по сравнению с членами, не содержащими производных, в том же смысле, как малы члены с производными, которые могли бы присутствовать в зависимости D от Е.

_{Изменение плотности слоя вещества связано с изменением его толщины соотношением бр = — p8h/h. Вариация же поля вычис­ляется следующим образом.}

В данную точку пространства (с радиус-вектором г) попадает при смещении вещество из точки г — и, где и — вектор смещения частиц в объеме слоя. Поскольку в рассматриваемых условиях (однородная деформация и постоянство потенциала на обкладках) каждая частица вещества перемещается вместе со своим значе­нием потенциала, то изменение последнего в данной точке про^ странства есть

бф = ср (г—и) — ф (г) = — и ?ф = иЕ,

где Е — однородное поле внутри недеформированного слоя. Но ввиду однородности деформации имеем

и = |1, (15,5)

где z— расстояние от нижней поверхности. Поэтому вариация напряженности поля

6E = -in(El). (15,6)

Подставляя все полученные выражения в (15,4) и учитывая также, что bh = \_z = \n, получим

^o_ik^hn_k ^{= ± (nD) (IE)-(in) р U + (in) F =}

\ 4л

Отсюда окончательно находим следующее выражение для Тензора напряжений:

0,-ъ =

Р^ др /е, г

в,* + ^Г*. (15,7)

В изотропных средах, которые здесь и рассматриваются, направ­ления Е и D совпадают. Поэтому E_iD_k = E_kD_[ и тензор (15,7), как и должно быть, симметричен '). При линейной связи D = eE имеем

^{F = F}₀^{(p, T)-e-g (15,8)}

(см. (10,17)); F₀ есть свободная энергия единицы объема вещества в отсутствие поля. Согласно известному термодинамическому соотношению, производная от свободной энергии 1 г вещества по удельному объему есть давление:

fl^Ff) -'•-■>(£),--'*

^х) Тот факт, что в изложенном выводе направление Е совпадает с п, не­существен, так как заранее очевидно, что может зависеть лишь от направ­ления Е, но не п.

Р

Я₀ = Я₀(р, Т) есть то давление, которое имелось бы в среде в отсутствие поля при данных значениях р и Т. Поэтому при подстановке (15,8) в (15,7) получим

— (р, T)6_lh-£[s-₉ (|)_r]'6,._{fc +} ^. (15,9)

В пустоте это выражение переходит в известный максвелловский тензор напряжений электрического поля¹).

Силы, с которыми действуют на поверхность раздела две соприкасающиеся различные среды, должны быть равны и про­тивоположны: a_ikn_k = — o'_tkn'_k, где величины со штрихом и без него относятся к двум средам. Векторы нормали п и п' имеют взаимно противоположные направления, так что можно написать

офк = °1кП_к. (15,10)

На границе двух изотропных сред равенство тангенциальных составляющих сил соблюдается тождественно. Действительно, под­ставив (15.7) в (15.10) и взяв тангенциальную компоненту, по­лучим

E_tD_n = E'_tD_n.

Но это равенство удовлетворяется уже в силу граничных усло­вий непрерывности E_t и £)„. Условие же равенства нормальных составляющих сил дает нетривиальное условие, налагаемое на разность давлений в обеих средах.

Рассмотрим, например, границу между жидкостью и атмосфе­рой (для последней можно положить е=1). Отмечая штрихом величины, относящиеся к атмосфере, и пользуясь для a_tk фор­мулой (15,9), получим

^{-/,.(р.Л+£р(^)}_г ^{+ Ёг(«-£?) = -Л}_п^{.+^(^-^).}

Учитывая граничные условия E_t — E'_t, D_n = еЕ_п = D'_n = E'_n, пере­пишем это равенство в виде

Р.(Р. Т)-Р_т = &(%)_т-^В-£№ + Щ). (15,11)

Это соотношение надо понимать как уравнение, определяющее плотность р жидкости вблизи ее поверхности по напряженности электрического поля в ней.

de-dp У т

£2

8л дх[

4л

*) См. примечание на стр. 49.

Определим теперь действующие в диэлектрической среде объем­ные силы. Дифференцируя согласно (15,2) выражение (15,9), получим

При учете уравнения div D = dD_k/dx_k = 0 выражение в скобках в последнем члене сводится к сумме

дх_ь

F ^дЕЬл.п ^дЕ> — п (^дЕ* ^дЕЛ

^кдх

обращающейся в нуль ввиду того, что rot Е = 0. Таким образом, получаем

f =

£²р

--grade (15,12)

де_

ф J т

-gradP₀(p, 7") + -^ grad

(Н. Helmholtz, 1881).

Если в диэлектрике имеются сторонние заряды с объемной плотностью р_С1, то к силе f добавится еще член Е div D/4n; по­скольку divD = 4np_CT, то этот член равен

Рсг^Е">

(15,13)

не следует, однако, думать, что этот результат самоочевиден (ср. задачу 3 § 16).

В газе, как уже было указано в § 7, можно считать разность е—1 пропорциональной его плотности. Тогда pde/dp = e — 1 и формула (15,12) принимает более простой вид:

f = -

VP₀ + Vg^rad£?- (¹⁵'¹⁴>

Формула (15,12) справедлива для сред как однородных, так и неоднородных по своему составу. В неоднородной среде е является функцией не только р и Т, но и меняющейся вдоль среды концентрации смеси. В однородной же по составу среде е есть функция только р, Т, и grade можно раскрыть как

^T-(jr).»^r+Wr

Тогда (15,12) приобретает вид:

f = -V/>.<P, Т)+{-Ч

Если и температура постоянна вдоль тела, то третий член обра­щается в нуль, а в первом можно заменить уР₀ на pV£₀ (согласно известному термодинамическому соотношению для химического по­тенциала в отсутствие поля: pd£₀ = dP₀—S₀dT) и

f =

8л \Тр)т

= — Р VC.

(15,16)

где £— химический потенциал вещества в электрическом поле (см. (10,19)).

В частности, условие механического равновесия f = 0 при постоянной температуре гласит:

^{C = £.-S(g)}_r^{=const (15,17)}

в согласии с общим термодинамическим условием равновесия. Обычно это условие может быть написано в еще более простом виде. Изменение плотности среды под влиянием поля само про­порционально Е'¹. Поэтому, если в отсутствие поля среда одно­родна по своей плотности, то и при наличии поля в последних двух членах в (15,15) следует полагать р = const; учет измене­ния р в формулах, предполагающих линейную связь D = еЕ, был бы превышением их точности. Тогда, приравнивая нулю f из (15,15), получим при постоянной температуре условие равновесия в виде

*'<P'^r>-ir(l)r^==Const' ^(15Л8>

отличающемся от (15,17) тем, что вместо £₀ в нем стоит Р₀/р.

В заключение этого параграфа покажем, каким образом можно вывести непосредственно выражение для силы (15,12) из формулы (14,1),— если не ставить себе целью вычисление тензора напря­жений.

Рассмотрим неограниченную неоднородную диэлектрическую среду, подвергаемую изотермической малой деформации, обра­щающейся в нуль на бесконечности. Вариация бе складывается из двух частей: 1) из изменения

е (г—и) — е (г) = — и уе,

связанного с тем, что в результате деформации в заданную точку г приходит частица вещества из точки г—и, и 2) из изменения

-(!)_rp^divu'

связанного с изменением плотности вещества в точке г: как известно (см. VII § 1), div и есть относительное изменение эле­мента объема и потому изменение плотности есть бр = — pdivu. Таким образом, вариация свободной энергии:

6<Г = 6Г₀ —J 8e^dl/ = — \ P₀divudV +

+ J£ [^и*е + (|)_г pdivu] dV (15,19)

(первый член —вариация свободной энергии в отсутствие поля). Проинтегрировав в (15,19) члены с div и по частям и сравнив

результат с выражением 8<F = — \uidV вариации свободной энер­гии через работу сил f, получим (15,12).