§111. Сильные электромагнитные волны

Возможность постановки рассмотренной в предыдущем параг­рафе задачи о генерации всего одной определенной гармоники была связана с наличием дисперсии. Теперь мы рассмотрим обратный случай, когда во всем существенном интервале частот дисперсию можно считать отсутствующей, так что индукция D(t) в каждой точке определяется значением Е (t) в тот же момент времени³⁰). Мы будем считать среду изотропной; тогда направле­ния D и Е совпадают. Нелинейность же в этом параграфе не предполагается малой, так что зависимость D(E) — произвольная функция.

Пренебрежение поглощением и дисперсией имеет принципи­альное значение в том отношении, что после этого из уравнений поля исчезают какие-либо параметры размерности частоты (или, тем самым, размерности длины). Это обстоятельство делает возможным построение точного решения, обобщающего обычную одномерную плоскую волну линейного приближения (А. В. Гапо-нов, Г. И. Фрейдман, 1959) ³¹).

Пусть волна распространяется в направлении оси х, электри­ческое поле направлено по оси у, а магнитное—по оси z (Е_у и Н₂ обозначаем просто как Е и Н). Уравнения Максвелла

. „ 1 dD , _ 1 ан

ГОТ Н = — -Г7 , rot Е = -гг

с dt ' с dt

(111,1)

принимают вид

_дН_ j_ dD__± дЕ_ дЕ _ 1 дН

дх с dt с dt ' дх с dt '

где по определению

е (£)=§■ (П1,2)

(при Е—*-0 функция е(£) стремится к значению е₀ — обычной диэлектрической проницаемости).

Ищем решение, в котором функции E(t, х) и H(t,x) могут быть выражены как функция одна другой: Н = Н(Е). Тогда урав­нения (111,1) можно переписать как

е йЕ , dH дЕ XdHdE.dE . ,,,,

Для того чтобы эти два уравнения могли удовлетворяться отлич­ными от нуля значениями неизвестных dE/dt и дЕ/дх, должен быть равен нулю их определитель. Это условие дает

, 2

1Ё) ^=е(^£)'

откуда

£

H = ±\ V*(E)dE. (111,4)

Подставив теперь dH/dE из (111,4) в одно из уравнений (111,3), имеем

(dE/dt)_x ( дх_ \ с

(dE/dx)_t \dt )е — у_е Отсюда следует, что

— ^с i

У е

может быть произвольной функцией от Е. Обозначив обратную функцию как /, имеем

^{£='("7JW'J; (П,'5)}

два знака здесь отвечают двум направлениям распространения волны. После выбора функции f формула (111,5) определяет в неявном виде зависимость E(t, х). В слабых полях, когда можно положить е = е„, (111,5) переходит в обычную плоскую

Рис. 60.

волну с фазовой скоростью с/Ке₀. Отметим, что полученное ре­шение существует только при е>0 — в соответствии с условием устойчивости (18,8)¹).

По мере распространения волны заданный в начальный момент ее профиль искажается, поскольку разные участки бегут с раз­личными скоростями. Обычно г(Е) убывает с ростом Е (функция s (Е) стремится к насыщению). Тогда точки профиля с большими значениями Е бегут с большими скоростями, в результате чего увеличивается крутизна переднего фронта профиля (как это иллюстрирует рис. 60, на котором показана форма профиля в не­сколько последовательных моментов). В некоторый момент возни­кает перегиб профиля, после чего он должен был бы стать неоднозначным. В действительности в этот момент в волне возни­кает электромагнитная ударная волна—разрыв величин Е и Н. Граничные условия на разрыве имеют тот же вид (76,13), что и на любой движущейся поверхности. Для плоской поперечной волны они гласят:

ОВД

£₂_£_{1 =} ^ (//,_//>),

где индексы 1 и 2 относятся к значениям величин соответственно впереди и позади фронта. Перемножив эти два равенства, найдем для скорости ударной волны:

В ударной волне происходит диссипация энергии. Пусть Q — скорость диссипации, отнесенная к единице площади поверх­ности разрыва. Для ее вычисления пишем закон сохранения энергии, примененный к цилиндрическому элементу объема среды, одно основание которого находится позади, а другое—впереди разрыва:

^_г(£₂Я₂-ВД) = у(с/₂-с/₁) + д. (111,8)

Слева стоит разность потоков энергии через оба основания, а справа—сумма скорости изменения внутренней энергии за счет перемещения границы между областями / и 2 и диссипируемой в ней энергии. Разность внутренних энергий (при неизменных плотности и температуре):

Ut-U^l'EdD + ^iHl-Hf).

D,

Используя также равенства (111,6—7), можно привести (111,8) к виду

( ^Пг \

_q=-£|t<^d_«-^d_iH^£_»+^£_i)-J ^EdD_\■

I о. J

Если ударная волна слабая (т. е. скачки величин в ней малы), то при вычислении Q можно представить связь D с Е в виде разложения

D{E) = D₁ + e (ЕЛ(£-£,) + {«' (ЕЛ(Е-ЕЛ\ где е' (E) = d²D/dE². Простое вычисление приводит к результату

Таким образом, диссипация энергии в слабой электромагнитной ударной волне—третьего порядка по величине скачка поля в ней. Поскольку должно быть Q > 0, то при е'<0 будет £₂ > Е₁ — в соответствии с рис. 60.

Появление ударной волны нарушает применимость полу­ченного решения: выражения (111,4—5) для поля противо­речат граничным условиям (111,6). Существенно, однако, что волна остается приближенно (с точностью до величин второго порядка включительно) простой, пока ударную волну можно считать слабой³²). С этой точностью выражение для скорости разрыва может быть представлено в виде

V = с

е(^±^)]-'^/2. (ШЛО)

В этом же приближении положение разрыва на профиле волны определяется условием равенства двух площадей между верти­кальной прямой и пунктиром на рис. 60.

Задача

Из вакуума на границу среды падает нормально плоская волна вида Е = (t — x/c). Определить отраженную волну (L. J. Вгоег, 1963).

Решение. Поле в вакууме (полупространство х < 0) складывается из падающей и отраженной (индекс г) волн:

E=ft(t-x/c) + f_r (t + x/c), H = fi(t-x/c)-f_r (t + x/c)

(в вакууме уравнения поля линейны и два решения можно складывать!). В среде, х > 0, имеется лишь прошедшая волна, в которой

Е

о

Из условия непрерывности при х=0 электрического поля имеем

ft(t) = fiV) + fr (0-

Условие же непрерывности Н иа той же границе дает затем соотношение

f;V) + f_rV)

^{fdt)-fr<f)= \ V HE)dE,}

о

которым и определяется, в неявном виде, функция f_r.

§112]

ВЫНУЖДЕННОЕ КОМБИНАЦИОННОЕ РАССЕЯНИЕ

535