Раздел I. Аналитическая геометрия

Тема 1. Метод координат

1.1. Дан квадрат, сторона которого равна 4 единицам длины. Найти координаты вершин этого квадрата, если за оси координат принять его диагонали.

1.2. Дан ромб, сторона которого равна 5 единицам длины, а одна из диагоналей – 6 единицам. Найти координаты вершин этого ромба, если за оси координат принять его диагонали.

1.3. Найти периметр треугольника, вершинами которого являются точки (3;4), (-2;4), (2;2).

1.4. Найти периметр четырехугольника, вершинами которого являются точки (2;1), (-2;8), (-6;5), (-2;-2).

1.5. Найти периметр четырехугольника, вершины которого лежат в точках (-а;0), (0;b), (a;0), (0;-b).

1.6. Доказать, что треугольник, имеющий своими вершинами точки (-3;-2), (1;4), (-5;0), равнобедренный.

1.7. Показать, что треугольник, вершинами которого являются точки (-1;1), (1;3), (-√3; 2+√3), равносторонний.

1.8. Показать, что треугольник, вершины которого расположены в точках (1;2), (3;4), (-1;4), прямоугольный.

1.9. Показать, что точки (8;0), (0;-6), (7;-7), (1;1) лежат на окружности, центром которой является точка (4;-3). Чему равен радиус окружности?

1.10. Найти точку, равноудаленную от точек (0;0), (1;0), (0;2).

1.11. Найти точку, равноудаленную от точек (-4;3), (4;2), (1;-1).

1.12. Найти центр окружности, проходящей через точки (0;0), (4;2), (6;4).

1.13. Найти на оси Оx точку, равноудаленную от точек (0;5) и (4;2).

1.14. Найти точки, отстоящие одновременно на 5 единиц длины от точки (1;3) и на 4 единицы от оси Оy.

1.15. Найти точку, делящую отрезок между точками P1(-2;3) и P2(4;6) в отношении 2:3.

1.16. Серединой отрезка является точка (-1;2) и одним из его концов точка (2;5). Найти координаты второго конца отрезка.

1.17. Точка (1;1) делит пополам отрезок, заключенный между точками (x;5) и (-2;y). Найти эти точки.

1.18. Разделить отрезок, заключенный между точками (0;2) и (8;0) в таком же отношении, в каком находятся расстояния этих точек от начала координат.

1.19. Разделить отрезок, заключенный между точками (-3;4) и (9;12), в таком же отношении, в каком находятся расстояния этих точек от начала координат.

1.20. Две вершины треугольника лежат в точках А(3;7) и В(-2;5). Найти координаты третьей вершины треугольника при условии, чтобы середины проходящих через нее сторон лежали на осях координат.

1.21. Проходит ли прямая y=3x+13 через точки: а) (5;-1); б) (-4;1); в) (3;2); г) (5;7); д) (-5;-2) ?

1.22. Даны точки А(1;-1) и В(4;5). До какой точки нужно продолжить отрезок АВ ( в направлении от А к В ), чтобы получился отрезок, длина которого была бы в три раза больше длины отрезка АВ?

1.23. Найти длины медиан треугольника, вершины которого лежат в точках А(3;4), В(-1;1), С(0;-3).

1.24. Найти точки, разбивающие на три равные части отрезок, заключенный между точками М(-3;-7) и Н(10;2).

Тема 2. Прямая линия

2.1. Начертить прямые, заданные следующими уравнениями: а) y= - ½x; б)y= - 2x – 3; в)2x + 3y = 0.

2.2. Проходит ли прямая y=3x+13 через точки: а) (5;-1); б) (-4;1); в) (3;2); г) (5;7); д) (-5;-2) ?

2.3. Найти уравнение прямой, образующей с осью Ox угол в 30° и пересекающей ось Oy в точке (0;3).

2.4. Найти уравнение прямой, образующей с осью Ox угол в 60° и пересекающей ось Oy в точке (0; -4).

2.5. Найти уравнение прямой, параллельной оси Ox и пересекающей ось Oy в точке (0;3).

2.6. Найти уравнение прямой, параллельной оси Oy и пересекающей ось Ox в точке (-5; 0).

2.7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (1;-3) и образующей с осью Ox угол arctg2.

2.8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2;-5/3) и образующей с осью Ox угол 0°.

2.9. Найти угловые коэффициенты прямых: а) x-y-5=0; б) 6x-3y+7=0; в) 3x+2y-1=0.

2.10. Найти уравнение прямой, проходящей через точки (-1;-4) и (0;5).

2.11. Найти уравнение прямой, проходящей через точки (2;-1/2) и (-1;1/4).

2.12. Найти уравнение прямой, которая проходит через точку (5;-1) и параллельна прямой, соединяющей точки (0;3) и (2;0).

2.13. Найти уравнение прямой, пересекающей ось Ox в точке (3;0), а ось Oy в точке (0;-4).

2.14. Найти точки, в которых прямая 6x-4y-3=0 пересекает оси координат.

2.15. Диагонали ромба, равные 12 и 8 ед.длины, лежат на осях координат. Найти уравнения сторон этого ромба.

2.16. Найти площадь треугольника, образуемого осями координат и прямой 3x+4y-12=0.

2.17. Какая зависимость должна быть между коэффициентами a и b, чтобы прямая x/a + y/b = 1 образовывала с осью Ox угол в : а) 45°; б) 60°.

2.18. Найти угол между прямыми 3x-y+6=0 и x-y+4=0.

2.19. Найти угол между прямой 2x-3y+6=0 и прямой, проходящей через точки (4;-5) и (-3;2).

2.20. Найти угол между прямыми, проходящими через начало координат и через точки, которыми отрезок прямой 2x+3y-12=0, содержащийся между осями координат, делится на три равные части.

2.21. Проверить, что прямая x-y+3=0 является биссектрисой одного из углов, образуемых прямыми : 4x-3y+11=0 , 3x-4y+10=0.

2.22. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2;-3) и параллельной прямой 3x-2y+2=0.

2.23. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (-3/2;-2) и параллельной прямой 3x-2y+2=0.

2.24. Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат и перпендикулярной прямой 3x+4y-2=0.

2.25. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2;-3) и перпендикулярной прямой 7x-4y+3=0.

2.26. Найти уравнение перпендикуляра, восставленного в середине отрезка, соединяющего точки (-5;-1) и (-3;4).

2.27. Найти уравнение прямой, перпендикулярной прямой 2x-3y+7=0 и проходящей через середину ее отрезка, содержащегося между осями координат.

2.28. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (4; -3) и образующей угол 45° с прямой 3x+4y=0.

2.29. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (-1;-1) и образующей угол arctg1/2 с прямой 3x+2y-6=0.

2.30. Найти уравнения двух перпендикуляров к прямой y=3x+1, проходящих через точки пересечения ее с осями координат.

2.31. Найти прямую, проходящую через точку (3;-5) и образующую с осью Ox угол, в два раза больший угла, образуемого с той же осью прямой x-2y-5=0.

2.32. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (2/3;8/3) и через точку пересечения прямых: 3x-5y-11=0, 4x+y-7=0.

2.33. Найти уравнение прямой, проходящей через точки пересечения прямых: 2x-y-2=0, x-y+7=0 и x-7y-1=0, 2x-5y+1=0.

2.34. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых x-3y+2=0 и 5x+6y-4=0 и параллельной прямой 4x+y+7=0.

2.35. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 3x-y+4=0 и 4x-6y+3=0 и перпендикулярной прямой 5x+2y+6=0.

2.36. Найти уравнения медиан треугольника, образованного прямыми 2x-3y+11=0, 3x+y-11=0 и x+4y=0.

2.37. Найти уравнение прямой, проходящей через начало координат и через точку пересечения медиан треугольника, стороны которого выражаются уравнениями: 4x-y+4=0, y= -x+4, x-4y+1=0.

2.38. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки (-1;2) на прямую 3x – 5y – 21 = 0.

2.39. Найти уравнение перпендикуляра к прямой, проходящей через точки М(-4;6) и N(4;-1), пересекающего эту прямую в точке, находящейся на отрезке MN на расстоянии от точки M, равном 1/3 длины отрезка MN.

2.40. Найти расстояние от точки (2;1) до прямой 3x – y + 7 = 0.

2.41. Найти расстояние от точки (2;-3/2) до прямой x + 2y – 4 = 0.

2.42. Найти расстояние между параллельными прямыми: 2x+3y-10=0 и 2x+3y-10=0.

2.43. Основанием треугольника служит отрезок между точками М(-3;1) и N(5;-1). Найти длину высоты, опущенной на основание из третьей вершины Р(6;5).

2.44. Из точки (9;5) опущены три перпендикуляра на стороны треугольника, вершинами которого являются точки (8;8), (0;8), (4;0). Показать, что основания этих трех перпендикуляров лежат на одной прямой.

2.45. На прямой 2x+3y-6=0 найти точку, равноудаленную от точек (4;4) и (6;1).

2.46. На прямой 5x-3y+15=0 найти точку, расстояние которой от оси Ox составляет 2/3 расстояния от оси Oy.