2. Визначення швидкостей та прискорень точок тіла у плоскопаралельному русі.

Положення будь-якої точки М, взятої на тілі, яке здійснює плоскопаралельний рух, визначається радіусом-вектором у системі відліку Оху (рис.3).

Як бачимо з рисунка,

,

д

Рис.3

е – радіус-вектор полюса А, – вектор, який визначає положення точки М відносно осей Ах'у', що переміщаються разом з полюсом А поступально.

Звідси:

.

Тут не що інше, як швидкість полюса , а – швидкість , яку точка М отримує в обертанні тіла навколо полюса.

Отже,

.

Величина швидкості обчислюється за формулою:

v_MA=ω МА.

Вектор напрямлений перпендикулярно радіусу-вектору .

Т

Рис.4

аким чином, швидкість будь-якої точки М тіла у його плоскопаралельному русі дорівнює геометричній сумі швидкості будь-якої іншої точки А, обраної за полюс, і швидкості точки М в її обертальному русі разом з тілом навколо цього полюса (див. рис.4).

Оскільки прискорення точки є другою похідною від радіуса-вектора, який визначає положення точки М, то запишемо:

Перший доданок – це прискорення полюса А, тобто а_А, а – прискорення точки М в її обертальному русі разом з тілом навколо полюса А. Тому:

Скориставшись формулами для обертального руху, маємо :

Т

Рис.5

аким чином, прискорення будь-якої точки М тіла у його плоскопаралельному русі дорівнює геометричній сумі прискорення якої-небудь іншої точки, обраної за полюс, і прискорення точки М в її обертальному русі разом з тілом навколо цього полюса (рис.5).

При розв’язанні задач часто зручнішим є заміна вектора його дотичною і нормальною складовими, де

=АМ·ε, =АМ·ω².

Рис.6

Вектор напрямлений перпендикулярно відрізку АМ у бік обертання, коли воно прискорене, і в протилежний бік, коли воно сповільнене. Вектор напрямлений завжди вздовж відрізка АМ, причому від точки М до полюса А (рис.6).

Тоді дістанемо рівняння:

.

3. Миттьовий центр швидкостей. Теорема про проекції швидкостей двох точок тіла у його плоскопаралельному русі

М

Рис.7

иттьовим центром швидкостей фігури в плоскопаралельному русі називається така її точка, абсолютна швидкість якої в даний момент часу дорівнює нулю. Такою точкою буде точка С (рис.7), у якої переносна швидкість полюса і відносна швидкість однакові за величиною ( = =ω·ОС) і напрямлені в протилежні боки. У кожний момент часу така точка тільки одна, тому вона обов'язково лежить на прямій МN, перпендикулярній , на відстані .

Справді,

.

П

Рис.8

оложення миттьового центра швидкостей постійно змінюється з часом. Отже, плоскопаралельний рух тіла можна подати у вигляді миттьових обертань навколо центрів (осей), які займають у кожний момент часу різні положення.

Якщо, наприклад, у даний момент часу миттьовий центр швидкостей знаходиться в точці С (рис.8), то швидкості будь-яких інших точок А і В будуть перпендикулярні до прямих, які з'єднують ці точки з точкою С, і напрямлені в бік їх обертання, а їх модулі:

=ω·АС; =ω·ВС.

Отже, швидкість точки плоскої фігури дорівнює її обертальній швидкості навколо миттьового центра швидкостей С. Із рівності також виходить, що

,

тобто швидкості точок тіла пропорційні їх відстаням до митьового центра швидкостей.

Якщо відомі швидкості двох довільних точок плоскої фігури і (рис.8), то миттьовий центр швидкостей знаходиться в точці перетину перпендикулярів, проведених до цих векторів.

Якщо ж вектори швидкостей двох точок у даний момент часу паралельні, то можливі такі випадки (рис.9):

1. Вектори і паралельні й не перпендикулярні до прямої АВ, яка з'єднує точки А і В (рис.9,а). Миттьовий центр знаходиться у нескінченності, тобто обертання немає – тіло рухається поступально, і = .

2. Вектори швидкостей і точок А і В перпендикулярні до прямої АВ, яка з'єднує ці точки. Для визначення положення миттьового центра слід з'єднати прямою кінці векторів і знайти точку С перетину цієї прямої з прямою АВ (рис.9,б, в).

а) б) в)

Рис.9

Крім зазначених випадків (рис.9), не можна довільно задавати за модулем і напрямком вектори швидкостей двох точок фігури в її плоскопаралельному русі. Ці вектори зв'язані теоремою: проекції векторів швидкостей двох точок фігури на пряму, яка з'єднує ці точки, однакові між собою.

Доведення. Нехай на рис.10 побудовані вектори і . Якщо точку А обрати за полюс, то маємо:

= + .

С

Рис.10

проектувавши цю рівність на пряму АВ і врахувавши, що вектор напрямлений перпендикулярно АВ, а отже, пр. =0, маємо пр. =пр. , що і треба було довести.

Справедливість твердження теореми очевидна із рисунка 10. Проекції вектора і вектора ,побудованих у точці В, на пряму АВ однакові, оскільки кінці цих векторів лежать на одному перпендикулярі до прямої АВ.