Теорема Поста о полноте

Для того чтобы система функций была полной, необходимо и достаточно, чтобы она не содержалась целиком ни в одном из классов T₀, T₁, L, S, M.

Доказательство. Докажем необходимость этого условия. Пусть система

N = {f₁, f₂, ...f_s, ...} полна в Р₂, покажем, что тогда она не лежит целиком в Q, где через Q обозначим любой из классов T₀, T₁, L, S, M. Докажем от противного, пусть N Q, очевидно, [N] [Q] = Q, но [N] = P₂, т.к. N – полна в Р₂, отсюда Р₂=Q, но это не так. Необходимость доказана.

Докажем достаточность. Пусть F = {f₀, f₁, f_L, f_m, f_s}, где f₀T₀, f₁T₁, f_LL, f_sS и f_mM. Покажем, что суперпозицией функций системы F можно получить полную систему G = {x₁&x₂, }.

1. Пусть g(x) = f₀(x, …, x). Тогда g(0) = f( 0, …, 0) = 1. Далее возможны два случая:

g(1) = 1. Тогда g(x)  1. Функция h(x) = f₁(g(x), …, g(x)) = f₁(1, …, 1) = 0, т.е. h(x)  0. Получили константы 0 и 1;

g(1) = 0. Тогда g(x) = . По лемме о несамодвойственной функции суперпозицией над {f_s, } можно получить одну из констант, например, 0. Тогда f₀(0, …, 0) = 1 есть другая константа.

В обоих случаях получили обе константы.

2. По лемме о немонотонной функции суперпозицией над {f_m, 0, 1} можно получить отрицание.

3. По лемме о нелинейной функции суперпозицией над {f_L, 1, } можно получить конъюнкцию. Теорема доказана.

Следствие. Всякий замкнутый класс функций из Р₂, не совпадающий с Р₂ содержится, по крайней мере, в одном из замкнутых классов T₀, T₁, L, S, M. Действительно, если N не является подмножеством Q, то [N] = P₂, что неверно.

Примеры использования теоремы Поста.

1. Покажем, что система функций {f₁ =x₁x₂, f₂ =0, f₃ =1, f₄ = x₁x₂x₃} полна в Р₂. Составим таблицу, которая называется критериальной :

	Т0	Т1	L	M	S
x1x2	+	+	-	+	-
0	+	-	+	+	-
1	-	+	+	+	-
x1x2x3	+	+	+	-	+

x1 x2 x3	x1x2x3
0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1	0 0 0 0 1 0 0 1

Из таблицы видно, что какой бы класс мы ни взяли, всегда есть функция из данной системы , которая в этот класс не входит. Можно сформулировать следующее правило: для того чтобы система функций была полна, необходимо и достаточно, чтобы в каждом столбце критериальной таблицы был хотя бы один «минус».

Отметим еще одно обстоятельство, касающееся приведенной системы. Какую бы функцию из этой системы мы ни удалили, система станет неполной, действительно, {f₂, f₃, f₄}L, {f₁, f₃, f₄}T₁, {f₁, f₂, f₄}T₀, {f₁, f₂, f₃}M.

2. Мы знаем, что система {x₁|x₂} – полна в Р₂. Какова для нее критериальная таблица? x₁|x₂= = x₁x₂1.

	Т0	Т1	L	M	S
x1|x2	-	-	-	-	-

3. Составим критериальную таблицу для другой полной системы функций из Р₂: {0, 1, x₁x₂, x₁x₂}.

	Т0	Т1	L	M	S
0	+	-	+	+	-
1	-	+	+	+	-
x1x2	+	+	-	+	-
x1x2	+	-	+	-	-

Согласно критериальной таблице, полной является и система {1, x₁x₂, x₁x₂}. Константа 0 введена в эту систему для удобства, тогда мы можем записать полином Жегалкина в виде, где а равны 0, если члены х х ...х , в полиноме отсутствуют.

4. Выясним, полна ли система . Составим критериальную таблицу, очевидно . Чтобы показать, что , достаточно найти одну функцию и . Возьмем , удовлетворяющую требуемым условиям. Если f S\T₀, то f(0, ..., 0) = 1, f(1, ..., 1)=0, следовательно, f M, f T₁. Рассмотрим функцию h = x₁x₂ x₂x₃ x₁x₃=1, набор ее значений (11101000), h S\T₀, но h L. Следовательно, критериальная таблица имеет вид:

	Т0	Т1	L	M	S
L T1	-	+	+	-	-
S\T0	-	-	-	+	-

и А – полная система функций.

Определение. Система функций {f₁, ..., f_s, ...} называется базисом в Р₂,если она полна в Р₂, но любая ее подсистема не будет полной. Например, система функций {x₁&x₂, 0, 1, x₁ x₂ x₃} – базис.