Гидромеханикалық процестер
Жоспар:
1. Эйлер тепе-теңдігінің дифференциалды теңдеулері
2. Гидростатиканың нагізгі теңдеуі
3. Гидростатиканың нагізгі теңдеуінің кейбір қолданбалы түрлері
1. Гидростатикада жалпы жағдайда салыстырмалы тыныштық күйдегі, мұнда жылжитын сұйықтықтағы оның бөлшектері бір-бірі бойынша қозғалмайтын сұйықтықтардың тепе-теңдігі қарастырылады. Бұл жағдайда ішкі үйкеліс күштері болмайды және сұйықтықты идел деп есептеуге болады.
Салыстырмалы тыныштық күйінде сұйықтық көлемінің пішіні өзгермейді, ол қатты дене тәріздес бір тұтас күйінде қозғалады. Егер сұйықтық қозғалатын, ішінде тұрақты бұрышты жылдамдықпен қозғалатын барабан орналасқан ыдыста, мысалы цистернада, болса, мұндай жағдайда тыныштық қозғалатын ыдыс қабырғасы бойынша қарастырылады.
Сұйықтық қозғалмайтын ыдыста абсолютті тыныштық күйінде болады (жер бетімен салыстырғанда), бұл мағынада салыстырмалы тыныштықтың жеке жағдайы ретінде қарастырылады.
Тыныштық күйіне байланыссыз сұйықтыққа ауырлық күші мен қысым әсер етеді. Салыстырмалы тыныштық күйдегі сұйықтықты ыдыспен бірге қозғалту барысында пайда болатын инерция күшін де ескеру қажет болады. Тыныштық күйіндегі сұйықтыққа әсер ететін күштер арасындағы және сұйықтық тепе-теңдігінің шартын анықтайтын қатынас Эйлер тепе-теңдігінің дифференциалды теңдеулерімен өрнектеледі.
1. Эйлер тепе-теңдігінің дифференциалды теңдеулері
Тыныштық күйдегі сұйықтық көлемінде көлемі dV , қырлары dx, dy және dz, х, у және z координата осьтеріне параллель болатын қарапайым параллелепипедті бөліп аламыз. (сур. II-2). Параллелепипедке әсер ететін ауырлық күші оның массасы dm мен еркін түсу үдеуінің g көбейтіндісіне тең болады, яғни gdm. Параллелепипедтің кез келген қырына түсетін гидростатикалық қысым күші гидростатикалық қысым р мен осы қырдың ауданының көбейтіндісіне тең. Қысым р барлық үш координаталар функциясы р = f (x, у, z) болып табылады деп есептейміз. Бұл функцияның түрін, яғни гидростатикалық қысымның сұйықтық көлемі бойынша таралу заңын анықтау қажет болады.
Статиканың негізгі принципі бойынша тепе-теңдік күйдегі элементарлы көлемге әсер ететін барлық күштердің координата осьтеріне проекциясының қосындысы нөлге тең болады. Олай болмаған жағдайда сұйықтық қозғалысқа ұшырар еді.
Барлық күштердің z осіне проекциясының қосындысын қарастырамыз. Ауырлық күші z осіне параллель, төмен бағытталған. Сондықтан таңдап алынған z осінің оң бағытында ауырлық күші бұл оске теріс таңбамен проекцияланады. (сур. II-2):
-gdm = -grdV = - rgdxdydz
Сур. II-2. Эйлер тепе-теңдігінің дифференциалды теңдеулерін қорытуға.
Гидростатикалық
қысым күші параллелепипедтің төменгі
қырына нормаль бойынша әсер етеді және
оның z
осіне проекциясы p
dx dy-
тең. Егер бұл нүктедегі гидростатикалық
қысымның z
осі бағыты бойынша өзгерісі
-ке
тең болса, онда
dz
қырының ұзындығы бойынша ол
-ті
құрайды. Олай болса, қарама-қарсы жоғарғы
қырға әсер ететін гидростатикалық қысым
шамасына тең және z
осіне гидростатикалық қысым күшінің
проекциясы мына шамаға тең болады:
z осіне сондай әсер ететін қысым күшінің проекциясы:
z осіне әсер ететін күштердің қосындысының проекциясы нолге тең болады, яғни:
(II,14)
Және параллелепипедтің көлемі dxdydz = dV ¹ 0 (бұл шама нөлге тең болмайды) тең екенін ескере отырып, келесі өрнекті аламыз
Ауырлық күшінің х және у остеріне проекциясы нөлге тең болады. Сондықтан х осіне күштердің проекциясының қосындысы былайша анқталады:
Бұдан жақшаны ашып, қысқартқаннан кейін алатынымыз
(II,14a)
немесе
у осі үшін де сәйкесінше осылайша анықталады:
немесе
Сонымен, элементарлы параллелепипедтің тепе-теңдік шарты келесі теңдеулер жүйесімен өрнектеледі:
(II,15)
Уравнения (II, 15) теңдеуі Эйлер тепе-теңдігінің дифференциалдың теңдеулері деп аталады.
Тыныштықтағы сұйықтықтың барлық көлеміндегі қысымның таралу заңын алу үшін (II, 15) теңдеулер жүйесін интегралдау қажет. Бұл теңдеулердің интегралдары болып инженерлік тәжірибеде жиі қолданылатын гидростатиканың негізгі теңдеуі болып саналады.