Возведение в натуральную степень.

Чтобы возвести в натуральную степень комплексное число в тригонометрической форме записи, нужно модуль возвести в эту степень, а аргумент умножить на эту степень:

- формула Муавра.

Формула легко доказывается методом математической индукции.

1) При n=2 согласно правилу умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи имеем .

2) Пусть при формула верна: .

3) Докажем ее при , пользуясь предположением индукции и правилом умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи:

Извлечение корня из комплексного числа.

Пусть комплексное число записано в тригонометрической форме .

Запишем его корень также в тригонометрической форме записи

По определению корня имеем .

Возводя в степень по формуле Муавра, получаем

. Отсюда находим модуль корня

и аргумент

; .

Итак, корень степени n из комплексного числа извлекается по формуле

где

Для любого комплексного числа различных корней степени n ровно n штук. Все они расположены на окружности с центром в начале координат

с радиусом и делят эту окружность на n равных частей.

Пример 2. Вычислить .

Запишем число i в тригонометрической форме .

Применим формулу извлечения корня из комплексного числа

при .

Подставляя получаем различные значения корня

Извлечение корня квадратного из комплексного числа

в алгебраической форме записи.

Запишем квадратный корень из числа в алгебраической форме

. Возведем это равенство в квадрат:

Приравнивая действительные и мнимые части, а также, учитывая, что модуль числа равен квадрату модуля его корня, получаем систему

Решая эту систему, находим , откуда

.

Пример 3. Вычислить .

Действительная и комплексная части равны a=3 и b=4. Вычислим по найденной формуле действительную и комплексную части его корня

Итак, .

Многочлены. Разложение на множители.

Рассмотрим многочлен степени n с комплексными коэффициентами от комплексной переменной

, где комплексная переменная;

комплексные числа.

Любой многочлен можно поделить на многочлен с остатком,

то есть представить в виде

где

– делитель, – остаток, – частное.

Определение. Число z₀ называется корнем многочлена , если =0.

Теорема Безу. Число является корнем многочлена тогда и только тогда, если делится нацело на .

Доказательство.

Необходимость.

Пусть – корень многочлена . Поделим на многочлен

с остатком: , где R – число.

Положим в этом равенстве _. Так как – корень, то , следовательно и делится нацело на .

Достаточность.

Пусть делится на без остатка, тогда . Подставляя в это равенство , получаем , следовательно, по определению, является корнем многочлена .

Определение. Число – корень многочлена кратности k , если многочлен можно представить в виде , где не является корнем многочлена , то есть .

Утверждение. Число является корнем кратности k многочлена тогда и только тогда, если является корнем этого многочлена и всех его производных до порядка включительно, то есть а .

Доказательство.

Необходимость. Пусть известно, что , где .

Очевидно, что , то есть является корнем многочлена. Покажем, что является корнем производных многочлена до порядка включительно. Вычислим производную порядка по формуле

Ньютона-Лейбница

При все слагаемые в правой части в точке будут равны нулю, и тогда . Если же , то в точке все слагаемые, кроме последнего, равны нулю. Последнее же слагаемое отлично от нуля в силу условия . Отсюда

Достаточность. Разложим многочлен в точке по формуле Тейлора

Так как первые k слагаемых в правой части обращаются в ноль, то многочлен можно представить в виде

.

При этом многочлен

в точке в ноль не обращается, так как по условию.

Тогда будет корнем кратности k по определению.

Основная теорема алгебры (без доказательства).

Пусть многочлен от комплексной переменной степени n, с комплексными коэффициентами. Тогда он имеет ровно n корней и его можно представить в виде

, где

– корень кратности

Лемма 1. Если z₀ – корень кратности k многочлена , то сопряжённое число является корнем кратности k для сопряженного многочлена .

Доказательство. Если z₀ – корень кратности k многочлена , то многочлен можно представить в виде , где .

Возьмём сопряжённое к левой и правой частям последнего равенства

. По свойствам сопряжённых чисел имеем

. В левой части этого равенства стоит значение сопряженного многочлена в точке и оно представимо в виде где Положив в этой формуле , получим . Обозначим ,

тогда , где

Это и означает, что – корень кратности k многочлена .

Лемма 2. Пусть – многочлен с действительными коэффициентами, но от комплексной переменной.

Если корень кратности k многочлена , то также является корнем кратности k многочлена .

Доказательство. По лемме 1 число является корнем кратности k сопряженного многочлена . Поскольку коэффициенты многочлена действительны, то сопряженный многочлен совпадает с самим многочленом и число является корнем кратности k многочлена .

Теорема. Многочлен от действительной переменной с действительными коэффициентами представляется в виде произведения линейных множителей и квадратных с отрицательным дискриминантом:

, где

– действительный корень кратности ; ; .

Доказательство. Рассмотрим многочлен как многочлен от комплексной переменной .

Тогда, по основной теореме алгебры, его можно представить в виде

, где – корень кратности .

Если - действительное число, то скобку не преобразовываем.

Если то , где . По лемме 2, если – корень

кратности для , то также корень кратности для . Сопряженное число запишется как , тогда произведение

можно представить в виде степени, в основании которой лежит квадратный трехчлен с отрицательным дискриминантом

так как .

Таким образом, разложили многочлен в произведение линейных множителей и квадратных с отрицательным дискриминантом. Положив , получим искомое разложение для .