2.6.4. Приклади застосування b-сплайнів

Декілька B-сплайн-кривих різного порядку, які апроксимують ламану, що має шість вершин, зображено на рис. 2.16. У цьому разі крива п’ятого порядку є кривою Без’є для заданої ламаної, крива четвертого порядку – кубічним сплайном, а крива другого порядку – послідовністю зв’язаних відрізків, які збігаються з вихідною ламаною. Крива третього порядку дотикається до внутрішніх відрізків ламаної в їхніх середніх точках.

Зазначимо, що зі зростанням порядку B-сплайн-криві випрямляються, їхня форма стає щораз більше відмінною від ламаної.

Рис. 2.16. Зображення декількох B-сплайн-кривих різного порядку

Розглянемо вплив подвоєної вершини в багатокутнику. В криві, що формуються, можна вносити зломи шляхом уведення в відповідну вершину ламаної кратних вершин. На рис. 2.17 багатокутник складається з п’яти вершин. Третя вершина подвоєна. Тут криві деформуються внаслідок зміни їхнього порядку за незмінного вигляду характеристичного багатокутника.

Перша крива є кривою п’ятого порядку, порядок цієї кривої дорівнює кількості вершин багатокутника. Друга крива – це крива п’ятого порядку. Її форма ближча до вихідного багатокутника, особливо біля подвоєної вершини. Третя крива має порядок 3. Зазначимо, що в подвоєній вершині наявний злам, оскільки нахил і кривина в ній не є неперервними. Подвоєна вершина необхідна для того, щоб створити злам у кривій третього порядку. Потроєна вершина утворює злам у кривій четвертого порядку. Цю властивість, як звичайно використовують під час проектування кораблів.

Типова крива, у якій кожне з’єднання відповідає єдиному вузлу, має неперервність , де n – степінь неперервності кривої. Наприклад, кубічна (третього степеня або четвертого порядку) крива має неперервність за другою похідною в кожному з’єднанні, якщо всі вузли різні. Якщо два вузла збігаються, то неперервність у цьому з’єднанні зменшується на один степінь; якщо три збігаються, то степінь неперервності зменшується на два; й так далі.

Рис. 2.17. B-сплайн-криві з подвоєною вершиною

Проаналізуємо ще один випадок. Загалом випадку В-сплайн складається з декількох сплайнових сегментів, кожний з яких визначений як набір точок. Коефіцієнти полінома будуть залежати тільки від керуючих точок на сегменті кривої. Цей ефект називають локальним керуванням, оскільки переміщення керуючої точки впливатиме не на всі сегменти кривої. На рис. 2.18 показано, як зміна положення точки впливає на форму кривої.

Рис. 2.18. Залежність В-сплайну від положення точки

Наведений нижче приклад відображає, як кратність вершини посилює її притягання. Щоб лінія заходила в гострі кути треба збільшувати кратність вершини (рис. 2.19). Тут розглядаються криві, які мають порядок, що дорівнює кількості вершин завдяки введенню кратних вершин у вузлі . Першій кривій четвертого порядку відповідає багатокутник з чотирма вершинами , друга крива п’ятого порядку має одну подвоєну вершину – , крива шостого порядку має потроєну вершину – , а кривій сьомого порядку відповідає багатокутник .

Отже, тепер зрозуміло, що можна провести криву ближче до конкретної вершини завдяки використанню кратних вершин, зберігаючи одні й ті ж кінцеві нахили для кожної кривої. А зниження порядку призводить до зміщення кривої в напрямі до вершин багатокутника.

Рис. 2.19. Порядок кривої, що дорівнює кількості вершин