2.5.2. Часткові випадки

Розглянемо визначення перших трьох степенів кривої Без’є. Лінійна крива, крива першого степеня (пряма), визначена такою параметричною формулою

Цей вираз є лінійною інтерполяцією між двома точками (рис. 2.13).

Рис. 2.13. Крива першого степеня (пряма)

Квадратична крива, крива другого степеня

.

Цей вираз є параболічною інтерполяцією між точками (рис.2.14)

Рис. 2.14. Крива другого степеня

До кривих другого степеня, як зазначено, належать параболи, гіперболи, еліпси, кола й інші лінії.

Точку з параметром на цій кривій знаходять так. Точку , яка ділить відрізок у відношенні

сполучаємо з точкою яка ділить відрізок у тому ж співвідношенні. Відрізок розділяється в тому ж співвідношенні у точці .

А отже, отримуємо

.

У разі побудови таких сплайнів, як звичайно вважають заданою похідну функції в першому вузлі. Тут забезпечується рівність у вузлах не тільки сусідніх параболічних функцій, а й їхніх перших похідних. Завдяки цьому сплайн–інтерполяція виглядає як досить гладка функція.

2.6. Апроксимація на основі b-сплайнів

Розглянемо інші набори базисних функцій, наприклад B-сплайни, щодо яких базис Бернштейна є частковим випадком. У літературі їх ще називають - NURB (nonuniform rational B-splines – нерівномірні раціональні B-сплайни). Поняття ”раціональні” ми розглянемо в 2.7, спочатку проаналізуємо головні властивості B-сплайнів.

2.6.1. Головні властивості b-сплайнів

В порівнянні з поліномами Бернштейна B-сплайни мають такі додаткові переваги:

1. Апроксимація B-сплайнами забезпечує точніше наближення ламаної, ніж апроксимація поліномами Бернштейна; B-сплайни можуть зображати будь-яку бажану форму – від точки, прямої лінії і ламаної до конічних відрізків (кіл, еліпсів, парабол і гіпербол), криві довільної форми.

2. У разі апроксимації методом Без’є на значення координат кожної точки кривої впливають усі вершини ламаної Без’є. Це утруднює коректування окремих ділянок кривої. Водночас апроксимація B-сплайнами має бажану локальність. За допомогою B-сплайнів можна виконувати локальні зміни кривої без її повного перерахунку; вони дають більший контроль над формою кривої. Для керування гладкістю і кривиною кривих можна безпосередньо маніпулювати набором контрольних точок і вузлів, які задають форму кривої.

3. Єдиним шляхом збільшення (зменшення) порядку кривої Без’є є збільшення (зменшення) кількості вершин відповідної ламаної Без’є. В методі B-сплайнів ці два параметри незалежні і внаслідок цього, можуть бути вибрані довільно. Завдяки таким властивостям вони можуть відображати дуже складні форми з порівняно малим набором даних.

Криву, побудовану на основі B-сплайн - базису, описують таким векторним рівнянням

(2.18 )

де – радіус-вектор точок кривої, – вершина ламаної (усього n+1 вершина), – базисна функція i-ї нормалізованої B-сплайн базисної кривої порядку k (степеня k-1), яка задана рекурентними співвідношеннями

(2.19)

Тут – елементи вузлового вектора, властивості якого ми розглянемо в 2.6.3; t –параметр. Вузловий вектор змінюється в діапазоні від 0 до .