1. Сформулювати і записати означення часткової границі послідовності, означення підпослідовності.

1а. Навести приклад обмеженої послідовності, яка не має часткових границь.

2. Чи може множина часткових границь послідовності бути нескінченною ? Навести відповідний приклад.

3. Сформулювати, записати і довести критерій часткової границі.

3а. Сформулювати означення граничної точки послідовності. Який метод використовується при доведенні ?

5. Сформулювати означення верхньої (нижньої) границі послідовності.

5а. Сформулювати і записати означення точної верхньої (нижньої) межі множини.

7. Навести приклад послідовності, яка не має точної верхньої (нижньої) границі, враховуючи що верхня (нижня) границя послідовності можуть приймати значення .

7а. Навести приклад послідовності, верхня границя якої рівна .

Граничні точки послідовності. Теорема Больцано–Вейєрштраса і наслідок до неї.

1. Сформулювати означення граничної точки послідовності.

2. Сформулювати і довести теорему Больцано–Вейєрштраса.

2а. Яка теорема використовується при доведенні теореми Больцано–Вейєрштраса ?

3. Сформулювати і записати означення підпослідовності.

4. Сформулювати і довести наслідок до теореми Больцано–Вейєрштраса.

4а. Яка теорема використовується при доведенні цього наслідку ?

Критерії збіжності послідовності.

1. Сформулювати і довести критерій збіжності послідовності.

1а. Яка теорема використовується при доведенні необхідності ?1б. Яка теорема використовується при доведенні достатньості?

2. Сформулювати, записати і довести критерій Коші збіжності послідовності.

2а. Які теореми використовуються при доведенні достатньості?

3. Сформулювати і записати означення фундаментальної послідовності.

3а.Сформулювати критерій Коші збіжності послідовності, використовуючи означення фундаментальної

послідовності.

Теорема Штольца.

1. Сформулювати і записати теорему Штольца.

2. Нехай а_n>0 i . Знайти

Границя функції .

Границя функції в точці. Рівносильність означень Гейне і Коші.

1. Сформулювати означення точки скупчення множини.

1_а). Чи може точка скупчення множини не належати цій множині?

2. Сформулювати, записати і довести теорему про множину точок множини в околі точки скупчення.

2_а). Який метод використовується при доведенні ? 3. Сформулювати означення ізольованої точки множини.

4. Навести приклад точки, яка не є точкою скупчення і не є ізольованою точкою множини.

5. Чим відрізняються поняття граничної точки послідовності і поняття точки скупчення множини ?

5а. Чи є граничні точки послідовності точками скупчення множини ?

6. Сформулювати і записати означення Коші границі функції в точці.

7. Сформулювати і записати означення Гейне границі функції в точці.

8. Довести, що означення Гейне і Коші рівносильні.

8а. Яким методом доводиться, що з означення Гейне випливає означення Коші ?

8б. Яка теорема і критерій використовуються при доведенні 8?

9. Чи має функція границю в точці ?

Теорема про арифметичні операції над границями функцій.

1. Яка теорема і означення використовуються при доведенні цієї теореми ?

Теорема про границю проміжної функції.

1. Яка теорема і означення використовуються при доведенні цієї теореми ?

Теорема про рівність односторонніх границь.

1. 1. Сформулювати і записати означення односторонніх границь.

2. Навести приклад функції, у якої границя функції в точці не існує.

3. Довести теорему про рівність односторонніх границь.

3а. Яким методом в цій теоремі доводиться, що границя функції при нерівності односторонніх границь не існує ?

Границя функції на нескінченності, нескінченна границя функції.

1. Сформулювати і записати означення границі функції на нескінченності, при х+, х-. Накреслити малюнки,

навести приклади.

2. Сформулювати і записати означення необмеженої, обмеженої зверху (знизу) множини.

!Границя

1. Записати і довести нерівності, які використовують для знаходження правосторонньої границі функції в точці 0.

2. Які теореми використовуються для знаходження границі функції в точці 0 ? Сформулювати ці теореми.

!Границя .

1. Яку нерівність використовують для знаходження границі функції при ?

2. Які теореми використовуються для знаходження границі функції при ?

3. Границя якої послідовності використовується для знаходження границі функції при ?

4. Яку заміну використовують для знаходження границі функції при ?

5. Яке означення використовують для знаходження границі ?

Нескінченно малі функції і їх порівняння. Теорема про заміну нескінченно малих при знаходженні границь.

1. Сформулювати і записати означення нескінченно малої функції, порівняння нескінченно малих функцій.

2. Навести приклад двох нескінченно малих функцій однакового порядку, еквівалентних нескінченно малих, нескінченно

малої вищого порядку, нескінченно малих, які не можна порівняти.

2а. Довести, що не існує.

2_б. Сформулювати і записати означення Гейне границі функції.

3! Сформулювати і записати означення нескінченно великої функції при ха, , х+, х-.

4. Довести теорему про співвідношення між нескінченно великими і нескінченно малими функціями.

4а. Які означення і теорема використовуються при доведенні ?

5. Навести приклад нескінченно малої функції , для якої функція не є нескінченно великою.

6. Сформулювати, записати і довести теорему про заміну нескінченно малих при знаходженні границь.