VII. Организация рекламной кампании

Модель рекламной кампании основывается на следующих основных предположениях.

Прибыль от продаж должна покрывать издержки на рекламную кампанию. Динамика роста прибыли: вначале расходы превышают прибыль, поскольку лишь малая часть покупателей информировании о новом товаре, по мере информированности покупателей прибыль растет, по мере насыщения рынка рост прибыли падает, и наступает момент, когда рекламирование товара становится бессмысленным. При таком подходе формализуется идея насыщения, описанная в примере 3.

Примем N (t) – число информированных покупателей.

dN/dt – скорость изменения числа покупателей со временем t (t - время от начала рекламной кампании) – пропорциональна числу покупателей, еще не знающем о товаре – величине a₁(t) (N₀ – N(t)), где a₁(t) > 0 характеризует интенсивность рекламной кампании (определяется затратами на рекламу в данный момент), N₀ – общее число потенциальных покупателей.

Предполагается, что информированные потребители участвуют каким-то образом в рекламировании товара. Их вклад равен величине a₂(t) N(t) (N₀ – N(t)), который тем больше, чем больше информированных покупателей. Величина a₂(t) характеризует степень общения покупателей между собой (может быть определена опросами).

В итоге получим уравнение

dN (t) / dt = [а₁(t) + а₂(t) N (t)] (N₀ – N(t)). (7)

При а₁(t) >> а₂(t)N(t) получается модель типа (1) – Мальтуса, при противоположном неравенстве – типа (3):

dN (t) / dτ = N (N₀ – N), dτ = а₂(t) d t.

Полученная аналогия понятна, так как использовалась одна и та же идея «насыщения»: скорость роста какой-либо величины пропорциональна произведению текущего значения этой величины N (t) на разность N₀ – N (t) между ее равновесным (популяция) либо предельным (покупатели) и текущим значениями.

В зависимости от значений величин а₁(t), а₂(t), N(t) могут разрабатываться мероприятия на улучшение результатов прямой рекламы (параметр а₁(t)) и косвенной рекламы (параметр а₂(t)).

Если рассмотреть модель (7) в окрестности точки N(t =0) = N(0) = 0 (t =0 – момент начала кампании), считая, что N<< N₀, а₂(t)N(t) << а₁(t), то уравнение (7) примет вид

dN (t) / d t =  а₂(t) N₀

и имеет решение

N(t) = N_{0 ,}

удовлетворяющее естественному начальному условию при t =0.

Из последнего уравнения можно вывести соотношение между рекламными издержками и прибылью в начале кампании.

Обозначим: р – прибыль от единичной продажи, s - стоимость элементарного акта рекламы (расклейка афиш).

Тогда суммарная прибыль Р = р N(t) = р N_{0 ,}

Произведенные затраты S = s .

Прибыль превосходит издержки при условии р N₀ > s (в реальности между всеми этими значениями имеются временные задержки, что может быть учтено в более полных моделях.

Условие р N₀ > s (прибыльность рекламы) справедливо при малых значениях функции N(t), когда функции Р и S растут со временем по одинаковым законам.

При увеличении N(t) усиливается действие косвенной рекламы. Этот нелинейный эффект в изменении величины при неизменном темпе роста издержек даст возможность скомпенсировать финансовые потери начальной стадии кампании.

Рассмотрим частный случай: коэффициенты а₁ и а₂ примем постоянными. Тогда в (7) можно принять а₁/а₂ + N = N*.

В случае такой замены оно сводится к известному логистическому уравнению

dN* (t) / d t  = а₂N* (N₀* – N*), N₀* = а₁/а₂ + N₀, (7*)

имеющему решение

N* (t)  =  N₀* [1 + (N*₀ а₂/а₁ -1)exp (-N₀* а₂ t)]^-1.

При этом N*(0) = а₁/а₂, так что N*(0) = 0 и начальное условие выполняется. Из предыдущего уравнения (7*) максимум производной достигается при N* = N₀*/2, N = (а₁/а₂ + N₀)/2:

(dN*/dt)_m  = (dN/dt)_m = а₂ N₀*² / 4 = а₂(а₁/а₂ + N₀)²/4.

В этот период текущая, получаемая в единицу времени прибыль

Р_m = p (dN/dt) = p а₂(а₁/а₂ + N₀)²/4.

Вычитая из Р_m начальную текущую прибыль Р₀ = p (dN/dt)_t=0 = а₁ N₀, получим

Р_m – Р₀ = p/4 (а₁/а₂^-1/2 - а₂^-1/2 N₀)².

Необходимое условие суммарного экономического эффекта от кампании (Р_m > а₁s) определяются всем ее ходом, характеристики которого вычисляются из полученных уравнений.

Как следует из (7*), начиная с некоторого момента продолжать рекламную кампанию невыгодно. При N*(t), близких к N₀*, уравнение (7*) записывается в виде

dN* (t) / d t  = а₂N₀* (N₀* – N*).

Его решение стремится при t→∞ к предельному значению N₀* (а функция N(t) к N₀) по медленному экспоненциальному закону. В единицу времени появляется малое число покупателей. И поступающая прибыль не может покрыть продолжающихся издержек.

Аналогичный подход может быть использован при анализе внедрения технологических и других новшеств.