Есептер

1. Жоғарыда қарастырылған үшінші мысалдың мазмұнына сәйкес Z=2(Х+У)+1 және Z=2У -1 кездейсоқ шамалардың үлестірім кестелерін жаз.

2. Тиын үш рет лақтырылған. Х – елтаңбалы пайда болу саны. У – цифрдің пайда болу саны. Х+У кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдарын жаз.

3. Х кездейсоқ шама үлестірім кестесімен берілген

у 0 1 2 3

q 0,1 0,3 0,4 0,2

у=sin функциясының үлестірім заңын жазыңыз.

4. (Х,У) системасы үлестірім кестесімен берілген

У -2 -1 0 1

Х

- 1 0,01 0,02 0,05 0,03

0 0,03 0,24 0,15 0,06

1 0,06 0,09 0,16 0,10

Z=X+У, Z=XУ

кездейсоқ шамалардың үлестірім кестелерін жазыңыз.

Үлкен сандар заңы . Чебышев теңсіздігі.

Мысал 1

Дискретті кездейсоқ шама үлестірім заңымен берілген

Х -1 0 2 4 6

Р 0,2 0,4 0,3 0,05 0,05

1. Мына теңсіздікті орындалуының ықтималдығын табыңыз.

2. Чебышев теңсіздігін пайдаланып теңсіздігінің орындалуының ықтималдығын бағалаңыз.

Шешуі: Әуелі математикалық үміт, дисперсиясын табалық.

М(х)= -0,2+0,6+0,2+0,3=0,9

Енді дисперсия табу үшін Х – тың үлестірім заңын жазамыз:

Х 1 0 4 16 36

Р 0,2 0,4 0,3 0,05 0,05

Сонда

М( )=0,2+1,2+0,8+1,8=4

1. Енді теңсіздігінің орындалу ықтималдығын табу үшін осы теңсіздікті қанағаттандыратын Х-тің мәндерін анықтау қажет. Берілген үлестірім кестесін бұл теңсіздікті кездейсоқ шаманың х=-1, х=0, х=2, х=4 мәндері қанағаттандыратын көз жеткізу болады. Олай болса

=Р(х=-1)+Р(х=0)+Р(х=2)+Р(х=4)=0,2+0,4+0,3+0,05=0,95.

Сонымен

3. Чебышев теңсіздігін пайдаланып

яғни

Сөйтіп Чебышев теңсіздігін пайдаланып теңсіздігінің орындалуының ықтималдығын төменнен бағаладық, яғни теңсіздігі кем дегенде 0,8724 ықтималдықпен орындалады. Бұл тұжырымның құндылығы есептер шығарған кезде теңсіздігінің орындалуының дәл ықтималдығын табу мүмкін болмаған жағдайларда оның ықтималдығын төменне бағалауға мүмкіндік береді.

Мысал 2. Жарық беруші торға 20 электрошам параллель қосылған. Т уақыт ішінде әрбір шамның жарық беру ықтималдығы 0,8. Чебышев теңсіздігін пайдаланып Т уақытында жарық беруші барлық электрошамдармен, жарық беріп тұрған шамдардың арифметикалық орташа мәндерінің (математикалық үміті) айырмасының абсолюттік шамасының ықтималдығын бағалаңыз. Егер айтылған айырма: 1)төрттен кіші болса; 2) төрттен кем болмаса.

Шешуі: Белгілі бір Т уақытында жарық беріп тұрған электрошамдардың саны кездейсоқ шама. Бұл кездейсоқ шама биномдық үлестірім заңымен берілген. Есептің шарты бойынша q=20, p=0,8, q=0,2.

Сондықтан

Енді Чебышев теңсіздігін пайдаланамыз

1. 

2. 

Сонымен

Мысал 3. Зауыт өнімдерінің 75 процентін жоғарғы сортпен шығарады. Шығарылған 10000 бұйымдардың ішінде жоғарғы сортпен шығарылған бұйымдардың саны осы жоғарғы сортпен шығарылған бұйымдардың математикалық үмітінен айырмасының абсолют шамасы 1000 данадан артық болмауының ықтималдығын бағалаңыз.

Шешуі: Жоғарғы сортпен шығарылған бұйымдар саны кездейсоқ шама. Оны Х арқылы белгілейік. Бұл кездейсоқ шама биномдық үлестіріммен берілген. М(х) осы кездейсоқ шаманың математикалық үміті. Есептің шарты бойынша n=100000, p=0,75, q=0,25.

Сонда М(х)=1000000,75=750000, D(х)=18750

Осыдан

яғни