III. Элементы комбинаторики

БИНОМ НЬЮТОНА

Элементы комбинаторики

Определение. Различные группы, составленные из каких либо предметов и отличающихся одна от другой или порядком этих предметов, или самими предметами, называются соединениями. Предметы, из которых составлены соединения, называются элементами. Их обозначим а, в, с, … Соединения бывают трех родов: размещения, перестановки и сочетания.

1) Размещениями из элементов по называются такие соединения, из которых каждое содержит элементов, взятых из данных элементов, и которые отличаются одно от другого или элементами, или порядком элементов .

Число всевозможных размещений, которые можно составить из n элементов по m, обозначим (А начальная буква французского слова “arrangement”, что означает размещение). Тогда .

Число всевозможных размещений из n элементов по m равно произведению m последовательных целых чисел, из которых большее есть .

, и т.д.

Если ввести обозначение произведения от 1 до n через факториал (!), то , в частности .

Тогда число размещений равно .

Например, имеется 10 учебных предметов и 3 пары занятий в день. Тогда число способов составления расписания в 1 день равно: .

Пример: Сколько можно образовать целых чисел, из которых каждое изображалось бы тремя цифрами (номера машин)?

Решение: чисел.

2) Перестановками из элементов называются такие соединения, которые содержат все элементов и отличаются друг от друга только порядком элементов. Число всех перестановок из элементов обозначим через P_n ( начальная буква французского слова “permutation” что означает перестановка). Тогда

Число всех перестановок из n элементов равно произведению натуральных чисел от 1 до n.

Например, число способов размещения 12 студентов за столом, на котором поставлено 12 приборов равно: .

3) Сочетаниями из элементов по называются такие соединения, которые содержат элементов и отличаются друг от друга хотя бы одним элементом. Число всех сочетаний из элементов по равно ( начальная буква французского слова “combinaison” что значит сочетание).

Например, из 10 кандидатов на одну и ту же должность должны быть выбраны трое. Тогда число способов выбора равно: .

Свойство сочетаний: .

Правило Паскаля: .

• Принцип умножения: Пусть необходимо выполнить одно за другим, какие то действий. Если первое действие можно выполнить n₁ способами, после чего второе действие можно выполнить n₂ способами и т.д. до k^го действия, которое можно выполнить n_k способами, то все действий вместе могут быть выполнены способами.

Пример: Сколько четырехзначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5.

Решение:

.

• Принцип сложения: Если два действия взаимно исключают одно другое, причем одно из них можно выполнить n₁ способами, то какое либо одно из них можно выполнить (n₁+n₂) способами. Этот принцип легко обобщить на случай произвольного конечного количества действий.

Пример: В нашем распоряжении есть 3 различных флага. На флагштоке поднимается сигнал, состоящий не менее чем из 2 флагов. Сколько различных способов сигналов можно поднять на флагштоке, если порядок флагов в сигнале учитывается?

Решение: Пусть первым действием поднимем на флагшток 2 флага, а вторым действием поднимем 3 флага. По принципу умножения 2 флага можно поднять

способами. Аналогично поднять 3 флага можно способами. Мы можем поднять только один сигнал из 2 флагов, либо сигнал из 3 флагов. Эти действия взаимно исключаются, не могут быть выполнены одновременно. Тогда общее количество сигналов равно .

• Перестановки с повторениями: Пусть дано множество из n элементов, в котором n₁ элементов принадлежит к первому типу, n₂ ко второму типу и т.д. до n_k объектов k^го типа, причем элементы одного и того же типа не различимы между собой. Тогда общее число перестановок данного множества элементов равно:

, где .

Пример: Сколько различных способов можно образовать из всех букв слова “Миссисипи”?

Решение: .

• Размещения с повторениями: Число размещений с повторениями из элементов по задается равенством .

• Сочетания с повторениями: Сочетаниями из элементов по с повторениями называются неупорядоченные выборы из предметов по с возвращениями. Число сочетаний из элементов по с повторениями равно

, можно доказать .