Решение типовых задач контрольной работы

1. Частные производные и дифференциал функции нескольких переменных

1.1. Найти частные производные функций:

а)

Находим:

б)

Находим:

1.2. Найти дифференциал функции:

Полный дифференциал определяется как:

Найдем частные производные:

Тогда полный дифференциал будет равен:

2. Приложения частных производных

2.1. Составить уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в точке .

Решение. Проверим, принадлежит ли точка М поверхности:

следовательно, точка М принадлежит поверхности.

Уравнение касательной плоскости имеет вид:

Найдем значения частных производных в точке М:

и подставим в уравнение касательной плоскости:

или

Уравнение нормали берем в виде:

или или

2.2. Найти градиент и производную функции в точке

Решение. Градиент функции равен:

Найдем частные производные:

и их значения в точке :

.

Тогда градиент в точке А равен:

Производная функции z в направлении вектора вычисляется по формуле:

Найдем направляющий косинус вектора :

тогда

Следовательно,

2.3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в замкнутой области D, заданной неравенствами:

Решение.

а) Найдем частные производные и приравняем их к нулю (необходимые условия экстремума):

Стационарная точка лежит в замкнутой области, так как:

Найдем вторые частные производные:

и их значения в стационарной точке М(2;2):

Так как , то в точке М функция имеет экстремум, а именно минимум, так как

б) Построим замкнутую область ОАВ (рис. 1)

Рис.1

Рассмотрим контур (прямая ОА). Имеем функцию одной переменной: Исследуем ее на экстремум:

Из имеем или . И так как

то имеем минимум и

Далее рассмотрим контур или (прямая АВ). Имеем:

или

Найдем и из имеем или .

Так как то при имеем минимум и

На контуре или (прямая ОВ) имеем или Находим производную приравниваем ее к нулю или , отсюда

Так как , то в точке имеем минимум и

Найдем значение функции z в точках О(0;0), А(0;6) и В(4;2):

Из найденных значений выбираем наименьшее и наибольшее. Получаем, что

3. Дифференциальные уравнения первого порядка

3.1. Найти общее решение уравнения:

Решение. Разделив уравнение на х

получили однородное дифференциальное уравнение первого порядка, которое сведем к уравнению с разделяющимися переменными введением функции , отсюда и

Подставим в исходное уравнение или или , или Разделяем переменные Числитель делим почленно на знаменатель и интегрируем

или

Все интегралы табличные, тогда

или

Подставляем сюда , получим

или

Это и будет общее решение исходного дифференциального уравнения.

3.2. Скорость роста банковского вклада пропорциональна величине вклада. Коэффициент пропорциональности равен 3. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла 2 миллиона рублей.

Решение. Если величину вклада обозначить через J = J(t), где t – время, то скорость роста вклада есть производная, т.е. и она пропорциональна величине вклада J с коэффициентом пропорциональности, равным 3, т.е. .

Разделяем переменные и интегрируем

или ,

ln J = 3t + C или J = e^{3t + C}.

В начальный момент времени, т.е. при t = 0 начальный вклад J₀ = 2 млн. руб. Тогда

J₀ = e^{3 · 0 + C}; e^C = 2 и C · ln e = ln 2, т.е. C = ln 2.

Окончательно: J = e^{3t + ln2} или J = 2e^3t.