Ідеальний газ. Основне рівняння кінетичної теорії газів
Ідеальний газ – це газ, у якому можна знехтувати силами міжмолекулярної взаємодії і розмірами самих молекул, а взаємодія молекул між собою, а також із стінками посудин відбувається за законами удару абсолютно пружних тіл.
Під час удару окремої молекули об стінку посудини вона передає стінці імпульс і відбивається від неї, змінюючи свою швидкість руху (рис.46.1). Згідно з другим законом Ньютона, імпульс сили, з якою стінка діє на молекулу під час удару, дорівнює зміні імпульсу молекули:
, (46.1)
де u – швидкість молекули, a – кут між нормаллю, проведеною до стінки в точці удару молекули, і напрямом руху молекули, t – тривалість удару, f – сила взаємодії молекули і стінки.
Рис46.1 Рис.46.2
Тиск, який створює газ на стінки посудини дорівнює силі, з якою в середньому діють молекули газу на одиницю площі стінки, а ця сила дорівнює сумі імпульсів всіх молекул, які вдаряються за одиницю часу об одиницю поверхні стінки посудини:
. (46.2)
Співудари молекул між собою не впливають на величину тиску газу на стінки посудини, а лише впливають
на перерозподіл швидкостей окремих молекул.
Обчислимо тиск газу на стінки посудини у якій він знаходиться. Нехай в посудині, яка має форму кулі радіуса R, знаходиться N молекул ідеального газу. Наша задача полягає в тому, щоб знайти тиск, який чинить ідеальний газ на стінки посудини.
Нехай молекула рухається прямолінійно
з швидкістю u, вдаряється
об стінку і відбивається від неї
(рис.46.2). Під час удару об стінку молекула
передає їй імпульс. Складова імпульсу,
паралельна до стінки (тангенціальна
складова), не впливає на тиск газу, тому
що внаслідок хаотичності руху молекул
сума цих складових, переданих стінці
усіма молекулами, дорівнюватиме нулю.
Імпульс
переданий стінці однією молекулою під
час руху, дорівнює зміні нормальної
складової кількості руху молекули:
Pi
= 2m
. (46.3)
Кількість ударів u, які здійснить молекула об стінку посудини за одну секунду, дорівнює відношенню швидкості руху молекули до пройденого шляху:
, , (46.4).
де 2Rcos
– шлях, який пройшла молекула між двома
послідовними уларами об стінку посудини.
Насправді такий випадок можливий лише
в розріджених газах. За звичайних тисків
молекула, внаслідок зіткнень з іншими
молекулами, змінює напрям свого руху,
але серед великої кількості молекул,
які вдарятимуться об стінку посудини
в точці В завжди знайдеться така молекула,
що матиме таку швидкість і такий же
напрям руху, який би мала молекула, що
пройшла шлях АВ. Внаслідок цього
можна вважати, що молекула проходить
шлях АВ без зіткнень з іншими
молекулами.
Суму імпульсів (тут маємо на увазі нормальні складові імпульсів), які передасть за одну секунду молекула стінці посудини, обчислимо, помноживши зміну імпульсу молекули на кількість ударів u, які здійснює молекула за одиницю часу:
(46.5)
Згідно з другим законом Ньютона
(
), величина імпульсу
,
переданого молекулою стінці посудини
за одну секунду, дорівнює середньому
значенню сили
,
з якою молекула діє на стінку посудини.
Силу, з якою діють на стінки посудини всі молекули, знайдемо як суму сил, з якою діє на стінки посудини кожна молекула:
F
=
, (46.6)
де індекс і – номер молекули:
.
Тиск газу знайдемо, поділивши силу F на площу поверхні посудини, в якій знаходиться газ:
P=
=
(46.7)
де V =
– об’єм посудини.
Помножимо і поділимо праву частину рівняння (17.5) на кількість молекул N, які знаходяться в об’ємі V:
PV
=
mN
,
(46.8)
або
PV
=
(46.9)
де
c
=
– середня
квадратична швидкість молекул.
Рівняння (46.9) є основним рівнянням кінетичної теорії газів: добуток тиску газу на об’єм дорівнює одній третій добутку числа молекул газу на масу молекули і на квадрат її середньої квадратичної швидкості. Рівняння (46.9) можна записати ще в такому вигляді:
P
=
=
,
(46.10)
де n =
– кількість молекул в одиниці об’єму
(концентрація молекул)
– середнє значення кінетичної енергії
однієї молекули.
Рівняння (46.10) називають основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорі] (м.к.т.) газів