40. Розподіл Больцмана. Барометрична формула

Рис 45.3

У невеликих об’ємах (декілька кубічних метрів) густина газів і кількість молекул в одиниці об’єму в усіх точках однакова. У великих об’ємах, зокрема в атмосфері Землі, рівномірність розподілу молекул в об’ємі порушується дією сил тяжіння, внаслідок чого атмосферний тиск зменшується із збільшенням висоти над поверхнею Землі.

Розглянемо зміну тиску з висотою детальніше. Нехай на поверхні Землі (h=0) атмосферний тиск дорівнює P₀, а на висоті h – дорівнює P (рис.45.1). Внаслідок збільшення висоти на dh, тиск зменшиться на dp:

dP=ρgdh (45.1),

де ρ – густина атмосфери на висоті h. Густина ρ дорівнює добутку маси молекули на їх кількість в одиниці об’єму:

ρ = m∙n, (45.2)

де m – маса однієї молекули, n – кількість молекул в одиниці об’єму.

Згідно з основним рівнянням молекулярно-кінетичної теорії газів, тиск визначається рівнянням:

P = nkT (45.3).

де k – стала Больцмана, Т – абсолютна температура. Визначивши із формули (45.3) n і підставивши його значення в формулу (45.2), отримаємо:

ρ = (45.4).

Підставивши знайдене значення густини (45.4) у формулу (45.1), отримаємо

dP= (45.5)

Вважаючи T = const , барометричну формулу отримаємо інтегруючи рівняння (45.5):

. (45.6)

Врахувавши те, що m = , де μ – молекулярна маса газу, N_а – число Авогадро, формулу (45.6) можна записати у вигляді (45.7):

, (45.7)

де R – універсальна газова стала. Формула (45.7) називається барометричною формулою.

Врахувавши те, що тиск пропорційний кількості молекул в одиниці об’єму (P=nkT), формули (45.6) (45.7) можна записати у вигляді:

, (45.8)

де n₀ – концентрація молекул газу на висоті h₀ = 0, n – концентрація молекул газу на висоті h. Формула (45.8) виражає кількість молекул в одиниці об‘єму газу, що знаходяться в полі сил земного тяжіння на висоті h, якщо кількість молекул в одиниці об’єму цього ж газу на висоті h₀=0 дорівнює n₀.

Позначимо χ = gh і назвемо потенціалом поля сил тяжіння, тоді формулу (45.8) можна записати у вигляді:

(45.9)

Добуток m є потенціальною енергією молекули на висоті h: m = mgh.

Формули (45.8) і (459) є законом розподілу Больцмана. Закон Больцьмана виражає розподіл молекул, що беруть участь у тепловому русі і знаходяться в потенціальному полі . У даному випадку розглянуто розподіл молекул в полі сил земного тяжіння. Закон розподілу Больцмана можна застосувати до будь-яких частинок, які поводять себе як молекули ідеального газу і знаходяться в будь-якому потенціальному полі. Закон Больцмана виражає умову рівноваги між тепловим рухом частинок, який призводить до максимального їх розсіювання, і дією зовнішніх сил (в даному випадку сил тяжіння), які намагаються максимально сконцентрувати частинки поблизу земної поверхні.