Курсовые / РГР по электротехнике / РГР Электротехника

Задание

Определить все токи и напряжения в схеме, представленной на рисунке 1.1 (а), построить векторную диаграмму, рассчитать активную, реактивную и полную мощности для всей цепи. Построить треугольник мощностей: r₁=1 Ом, r₂=2 Ом, r₃=2 Ом ; х₁= 3 Ом, х₂=4 Ом, х₃= 6 Ом;

действующее значение переменного напряжения на входе U=10 В,

б) в)

Рис.1.1

Решение:

Обозначим токи в ветвях и напряжения на участках схемы, как указано на рисунке 1.1 (а). Рассмотрим решение этой задачи двумя методами: методом проводимости и с помощью комплексных чисел.

Метод проводимостей

Пересчитаем параллельные ветви, содержащие r₁x₁ и r₂x₂ , в одну ветвь с сопротивлениями r₁₂x₁₂.

Предварительно определим полные сопротивления ветвей:

Определим активные и реактивные проводимости первой и второй ветвей (т.е. тех, которые мы стремимся объединить в одну ветвь)

Проводимости параллельных ветвей складываются.

Активная проводимость новой ветви

Реактивная проводимость новой ветви

Так как реактивная проводимость получилась положительной, то это значит, что в новой ветви будет индуктивное сопротивление, последовательно включенное с активным сопротивлением.

Теперь мы можем начертить новую эквивалентную схему (см. рисунок 1.1,б), для которой нужно определить сопротивления г₁₂ и x₁₂ по проводимостям g₁₂ и b₁₂. Для этого найдем полную проводимость и полное сопротивление новой ветви:

Найдем r₁₂ и x₁₂ :

Последовательно соединенные сопротивления складываются.

Найдем активное и реактивное сопротивления в этом случае:

После этих преобразований наша схема будет иметь вид, показанный на рисунке 1.1(в).

Если бы сопротивление x₃ было бы емкостным (т.е. отрицательным), то нужно было бы складывать реактивные сопротивления алгебраически, т.е. с учетом знака. При алгебраическом сложении реактивных проводимостей или сопротивлений в результате может получиться ноль. Это значит, что в цепи имеет место резонанс токов или напряжений.

Полное сопротивление всей цепи будет

Теперь можно определить величину тока и его фазу:

Так как общее сопротивление всей цепи активно - индуктивное, то ток отстает от напряжения U угол :

Напряжение на ветвях 1 и 2 будет:

Так как сопротивление z₁₂ активно - индуктивное, то напряжение U₁₂ опережает ток I ₃ на угол ₁₂ , равный:

Так как сопротивление в ветви I активно – индукционное, то ток I ₁ будет отставать от напряжения U₁₂ на угол ₁ , равный:

Ток во второй ветви:

Так как сопротивление во второй ветви активно - ёмкостное, то ток I ₂ опережает U₁₂ на угол , равный:

Определим напряжение на третьей ветви:

Так как сопротивление третьей ветви активно - индуктивное, то ток I ₃ отстает от напряжения U ₃ на угол , равный:

Теперь можно построить векторную диаграмму.

Рекомендуется следующий порядок построения:

1. Выбираем масштаб для токов и напряжений (указан на рисунке 1.2).

2. Откладываем горизонтально вектор общего тока I₃.

3. Откладываем под углом ₁₂, вектор напряжения на разветвленном участке цепи U₁₂.

4. Относительно напряжения U₁₂ откладываем векторы I₁, и I₂ под углами ₁ и ₂ (соответственно) к вектору U₁₂.

5. Откладываем вектор напряжения U ₃ под углом ₃ к вектору I ₃.

6. Геометрически складываем векторы напряжения U₃ и U₁₂, получим вектор напряжения U , величина которого должна совпадать с расчетной.

Угол между вектором напряжения U и вектором тока I ₃ также должен совпадать с расчетным значением.

Диаграмма должна получится такая же, как и при решении задачи методом проводимостей.

Рассчитаем активную, реактивную и полную мощности всей цепи:

что у нас было уже определено;

Построим треугольник мощностей. Выбираем масштаб мощностей (приведен на рисунке 1.3).

Выписываем ответы на вопросы задачи:

Метод комплексных чисел

Представим напряжение на входе цепи:

в комплексном виде

Где

так как =0.

Можно решать задачу и в действующих значениях:

U = 10 В.

Комплексные сопротивления каждой ветви будут:

Найдем комплексное сопротивление разветвленного участка:

по модулю

Комплексное сопротивление всей цепи

по модулю

Общий ток от источника

по модулю

Напряжение на разветвленном участке

по модулю

Токи в ветвях

Проверяем сумму токов по первому закону Кирхгофа:

Напряжение на разветвленном участке

по модулю

Проверяем сумму напряжений на отдельных ветвях по второму закону Кирхгофа

Строим диаграмму токов и напряжений на комплексной плоскости (рисунок 1.2) в выбранном масштабе.

Мощность можно определить следующим образом:

т.е. действительная часть комплексной мощности равна активной мощности, а мнимая - реактивной. Здесь I ₃ - сопряженное выражение комплексному току I ₃.

следовательно P = 6 Вт, Q = 8 вар.

Выписываем ответы (модули, а не комплексные выражения).

6