Скачано с http://antigtu.ru

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-17

Условие задачи

 

antigtu

Написать разложение вектора по векторам

:

Решение

 

 

 

Искомое разложение вектора имеет вид:

 

 

Или в виде системы:

с

 

Получаем:

Скачано

 

К первой строке приб вим третью умноженную на

:

Ко второй стро е прибавим первую умноженную на

:

.

ru

Искомое разложение:

 

antigtu

 

Скачано

 

 

 

Задача Кузнецов Аналитическая ге метрияс

2-17

 

Условие задачи

 

 

 

Коллинеарны ли векторы и , построе ные по векторам и

?

Решение

 

 

 

 

Векторы коллине рны если существует такое число

такое, что

 

коллинеарны если их оординаты пропорциональны.

 

 

Нетрудно заметить, что

 

для любых

и .

Т.е.

, а значит векторы и - коллинеарны.

 

.

ru

. Т.е. векторы

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-17

Условие задачи

Найти косинус угла между векторами

и .

antigtu

Решение

 

 

Найдем и :

 

 

 

Находим косинус угла между векторами

 

и :

Скачано

с

 

 

Т.е. косинус угла:

 

 

и следовательно угол

Задача Кузнецов Аналити еская геометрия 4-17

Условие з д чи

Вычислить площ дь п р ллелограмма, построенного на векторах и .

.

ru

Решение

 

 

 

 

 

 

.

ru

 

 

 

 

 

 

 

 

Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , численно равна модулю их векторного

произведения:

 

 

 

 

 

antigtu

 

 

Вычисляем

 

 

 

 

 

 

 

, используя его свойства векторного произведения:

 

 

Вычисляем площадь:

 

 

 

 

 

 

 

Т.е. площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна

 

.

 

 

 

 

 

с

 

 

 

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-17

 

 

Условие задачи

 

 

 

 

 

 

 

 

Скачано

 

 

 

 

Компланарны ли векторы

,

и

?

 

 

 

 

Решение

Для того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельных

плоскостях), необходимо и дост точно, чтобы их смешанное произведение

было равно

нулю.

 

 

Так как

, то векторы , и компланарны.

 

Получаем:
Так как

Согласно геометрическому смыслу векторного произведения:

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-17

 

 

Условие задачи

 

 

 

 

 

Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках

и его высоту, опущенную из

вершины

на грань

.

 

 

.

ru

 

 

 

 

 

Решение

 

 

 

 

 

 

Из вершины

проведем векторы:

 

 

 

 

В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем:

 

 

 

 

с

antigtu

 

 

Вычислим смешанное произведение:

 

 

 

Скачано

 

 

 

 

 

 

 

Вычислим векторное произведение:

Получаем:

 

 

 

antigtu

 

 

 

 

Тогда:

 

 

 

 

Объем тетраэдра:

 

с

 

Высота:

Скачано

 

 

 

 

 

 

Задача Кузнецов Аналитическая ге метрия 7-17

Условие задачи

 

 

 

Найти расстояние от точки

до плоскости, проходящей через три точки

Решение

Находим уравнение плоскости, проходящей через три точки

.

ru

.

:

Проведем преобразования:

 

antigtu

.

ru

 

 

 

 

 

Расстояние от точки

 

 

 

 

до плоскости

 

:

 

Находим:

 

 

с

 

 

 

 

 

Скачано

 

 

 

 

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-17

 

 

 

Условие задачи

 

 

 

 

 

 

Написать уравнение плоскости, пр х дящей через точку перпендикулярно вектору

.

Решение

 

 

 

 

 

 

 

Найдем вектор

:

 

 

 

 

 

Так как ве тор

перпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектора

нормали. Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-17

Условие задачи

Найти угол между плоскостями:

Решение

antigtu

Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторы заданных плоскостей:

Угол между плоскостями определяется формулой:

 

Скачано

 

 

Задача Кузнецов Аналитическая ге метрияс

10-17

Условие задачи

 

 

 

 

Найти координаты точки

 

, рав оудале ой от точек и .

Решение

 

 

 

 

 

Найдем расстояние

и

:

 

 

Так как по условию задачи

 

, то

 

.

ru

векторами. Нормальные

Таким образом

.

antigtu

.

ru

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-17

 

 

Условие задачи

Пусть - коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точка принадлежит образу плоскости ?

Решение

При преобразовании подобия с центром в начале координат плоскость

 

 

 

с

 

 

и коэффициентом переходит в плоскость

 

Скачано

. Находим образ плоскости :

 

 

Подставим координаты точки

в уравнение :

Так как

, то точка

е при адлежит образу плоскости .

Задача Кузнецов Ан литическ я геометрия 12-17

Условие зада и

Написать к нонические ур внения прямой.

Решение

Канонические уравнения прямой:

,

где

.

ru

- координаты какой-либо точки прямой, а

- ее направляющий

вектор.

 

 

Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий вектор ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей. Нормальные вектора плоскостей:

Найдем направляющий вектор :

 

 

antigtu

 

 

 

 

Найдем какую-либо точку прямой

 

с

. Пусть

, тогда

Скачано

 

 

 

 

 

Следовательно, точка

принадлежит прямой.

 

Получаем канонические уравнения прямой: