

Скачано с http://antigtu.ru
Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 1-17
Условие задачи |
|
antigtu |
|
Написать разложение вектора по векторам |
: |
||
Решение |
|
|
|
Искомое разложение вектора имеет вид: |
|
|
|
Или в виде системы: |
с |
|
|
Получаем: |
Скачано |
|
|
К первой строке приб вим третью умноженную на |
: |
||
Ко второй стро е прибавим первую умноженную на |
: |
. |
ru |

Искомое разложение: |
|
antigtu |
||
|
Скачано |
|
|
|
Задача Кузнецов Аналитическая ге метрияс |
2-17 |
|
||
Условие задачи |
|
|
|
|
Коллинеарны ли векторы и , построе ные по векторам и |
? |
|||
Решение |
|
|
|
|
Векторы коллине рны если существует такое число |
такое, что |
|
||
коллинеарны если их оординаты пропорциональны. |
|
|
||
Нетрудно заметить, что |
|
для любых |
и . |
|
Т.е. |
, а значит векторы и - коллинеарны. |
|
. |
ru |
. Т.е. векторы

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-17
Условие задачи
Найти косинус угла между векторами |
и . |
antigtu |
|
Решение |
|
|
|
Найдем и : |
|
|
|
Находим косинус угла между векторами |
|
и : |
|
Скачано |
с |
|
|
Т.е. косинус угла: |
|
|
и следовательно угол
Задача Кузнецов Аналити еская геометрия 4-17
Условие з д чи
Вычислить площ дь п р ллелограмма, построенного на векторах и
.
. |
ru |

Решение |
|
|
|
|
|
|
. |
ru |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , численно равна модулю их векторного |
||||||||
произведения: |
|
|
|
|
|
antigtu |
|
|
Вычисляем |
|
|
|
|
|
|
|
|
, используя его свойства векторного произведения: |
|
|
||||||
Вычисляем площадь: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т.е. площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 5-17 |
|
|
||||||
Условие задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
Скачано |
|
|
|
|
||||
Компланарны ли векторы |
, |
и |
? |
|
|
|
|
Решение
Для того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельных
плоскостях), необходимо и дост точно, чтобы их смешанное произведение |
было равно |
|
нулю. |
|
|
Так как |
, то векторы , и компланарны. |
|

Согласно геометрическому смыслу векторного произведения:
Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-17 |
|
|
||||
Условие задачи |
|
|
|
|
|
|
Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках |
и его высоту, опущенную из |
|||||
вершины |
на грань |
. |
|
|
. |
ru |
|
|
|
|
|
||
Решение |
|
|
|
|
|
|
Из вершины |
проведем векторы: |
|
|
|
|
|
В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем: |
|
|||||
|
|
|
с |
antigtu |
|
|
Вычислим смешанное произведение: |
|
|
|
|||
Скачано |
|
|
|
|||
|
|
|
|

Вычислим векторное произведение:
Получаем: |
|
|
|
antigtu |
|
|
|
|
|
Тогда: |
|
|
|
|
Объем тетраэдра: |
|
с |
|
|
Высота: |
Скачано |
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача Кузнецов Аналитическая ге метрия 7-17 |
||||
Условие задачи |
|
|
|
|
Найти расстояние от точки |
до плоскости, проходящей через три точки |
Решение
Находим уравнение плоскости, проходящей через три точки
. |
ru |
.
:

Проведем преобразования: |
|
antigtu |
. |
ru |
|
||
|
|
|
|
||||
Расстояние от точки |
|
|
|
|
|||
до плоскости |
|
: |
|
||||
Находим: |
|
|
с |
|
|
|
|
|
Скачано |
|
|
|
|
||
Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 8-17 |
|
|
|
||||
Условие задачи |
|
|
|
|
|
|
|
Написать уравнение плоскости, пр х дящей через точку перпендикулярно вектору |
. |
||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
Найдем вектор |
: |
|
|
|
|
|
|
Так как ве тор |
перпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектора |
нормали. Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид:

Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-17
Условие задачи
Найти угол между плоскостями:
Решение |
antigtu |
Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторы заданных плоскостей:
Угол между плоскостями определяется формулой:
|
Скачано |
|
|
||
Задача Кузнецов Аналитическая ге метрияс |
10-17 |
||||
Условие задачи |
|
|
|
|
|
Найти координаты точки |
|
, рав оудале ой от точек и . |
|||
Решение |
|
|
|
|
|
Найдем расстояние |
и |
: |
|
|
|
Так как по условию задачи |
|
, то |
|
. |
ru |
векторами. Нормальные

Таким образом |
. |
antigtu |
. |
ru |
Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-17 |
|
|
Условие задачи
Пусть - коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точка
принадлежит образу плоскости
?
Решение
При преобразовании подобия с центром в начале координат плоскость
|
|
|
с |
|
|
и коэффициентом переходит в плоскость |
|
|
Скачано |
. Находим образ плоскости : |
|
|
|
||
Подставим координаты точки |
в уравнение : |
||
Так как |
, то точка |
е при адлежит образу плоскости . |
Задача Кузнецов Ан литическ я геометрия 12-17
Условие зада и
Написать к нонические ур внения прямой.
Решение
Канонические уравнения прямой:
,

где |
. |
ru |
- координаты какой-либо точки прямой, а |
- ее направляющий |
|
вектор. |
|
|
Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий вектор ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей. Нормальные вектора плоскостей:
Найдем направляющий вектор : |
|
|
antigtu |
|
|
|
|
|
|
Найдем какую-либо точку прямой |
|
с |
. Пусть |
, тогда |
Скачано |
|
|
||
|
|
|
||
Следовательно, точка |
принадлежит прямой. |
|
Получаем канонические уравнения прямой: