(Треба розв’язати рівняння ,

).

Завдання 7. Задані координати вершин піраміди А₁, А₂, А₃, А₄.

А₁(1;-1;3), А₂(-2;4;1), А₃(2;3;1), А₃(0;3;6).

Знайти: 1) довжину ребра А₁А₂;

2. кут між ребрами А₁А₂ та А₁А₄;

3. площу грані А₁А₂А₃;

4. об’єм піраміди;

5. рівняння прямої А₁А₂;

6. рівняння площини А₁А₂А₃.

Зробити креслення.

Для виконання пунктів 1-4 завдання застосуємо поняття векторної алгебри.

1. Утворимо вектор , який збігається з відповідним ребром піраміди

= (-2-1; 4-(-1); 1-3) = (-3; 5; -2)

(координати вектора дорівнюють різниці між відповідними координатами кінця та початку вектора: ; ).

Довжину ребра А₁А₂ знайдемо як довжину або модуль відповідного вектора

А₁А₂ = .

2. Кут між ребрами знайдемо як кут між векторами та :

.

Цей вираз є прямим наслідком означення скалярного добутку векторів, формула для якого в координатній формі набуває вигляду

.

Таким чином,

(0-1; 3-(-1); 6-3) = (-1; 4; 3) ; = = ;

= ;

= = = 0,54;

= .

3. Площу трикутної грані А₁А₂А₃ знайдемо за формулою

,

що випливає з геометричного змісту означення векторного добутку векторів, вираз для якого в координатній формі має вигляд

.

Отже, (2-1; 3-(-1); 1-3) = (1; 4; -2);

=

(визначник розклали за елементами першого рядка);

= ;

кв.од.

4. Об’єм піраміди - це , де під знаком модуля - мішаний добуток векторів, на яких побудована піраміда.

Мішаний добуток обчислюється за допомогою визначника, рядки якого утворені координатами відповідних векторів.

,

(*- третій рядок помножили на (-3) та додали до першого; третій рядок додали до другого).

куб.од.

Пункти 5 та 6 завдання стосуються курсу аналітичної геометрії у просторі.

5. Запишемо рівняння прямої А₁А₂, використовуючи початкові умови: координати точок А₁(1; -1; 3) та А₂(-2; 4; 1) - як рівняння прямої, яка проходить через дві точки

,

де х, у, z - поточні координати прямої.

.

Тобто отримано канонічні рівняння прямої у просторі.

6. При записі рівняння площини А₁А₂А₃ використаємо координати точок А₁(1;-1; 3); А₂(-2; 4; 1); А₃(2; 3; 1) як початкові умови. Рівняння площини, яка проходить через три точки, виникає з умови компланарності (належності одній площині) трьох векторів , , :

,

тобто .

Розкладемо визначник за елементами першого рядка:

.

Отже, дістанемо загальне рівняння площини А₁А₂А₃

2х + 8у + 17z - 45 = 0.

Завдання до контрольної роботи №1

Завдання №1

Виконати дії над матрицями.

Знайти 3C-AB

. Знайти 3AB-2BA

. Знайти 2АВ+3С

Знайти С(2А+3B)

. Знайти 2С + 3АВ

. Знайти АВ + 4С

. Знайти 2АВ + 3ВА

. Знайти 5С - АВ

Завдання №2

Дано систему лінійних алгебраїчних рівнянь. Довести її сумісність і розв’язати її двома способами:

1. за формулами Крамера,

2. засобами матричного числення.