• Потенциал поля точечного заряда

Опираясь на процедуру расчёта потенциала, получим выражение для случая поля точечного заряда. Это очень важно для дальнейших расчётов потенциала поля системы произвольно расположенных в пространстве зарядов.

1. Нормировка. Будем считать потенциал равным нулю там, где поле точечного заряда практически отсутствует: .

2. Выбор траектории. Пусть произвольная точка Р(x,y,z) находится на расстоянии r от заряда-источника. Поскольку результат не зависит от формы траектории для расчёта криволинейного интеграла вида (3.7) выберем простейшую радиально направленную прямую из данной точки поля вдоль силовой линии и «уходящую в бесконечность».

3. Расчёт. В соответствии с определением потенциала выполним расчёт «удельной» работы поля созданного точечным зарядом q по переносу пробного заряда вдоль выбранной траектории. Нижеприводимая цепочка равенств, надеемся, выглядит достаточно «прозрачно». Однако дадим к ней всё же минимальный комментарий. Прежде всего, отметим, что в силу нашего выбора траектории в виде радиально направленного от заряда луча можно обозначения E_l и dl (произвольная кривая «L») поменять на E_r и dr (полярная ось «r»). Более того, поскольку вектор направлен радиально, для любого малого перемещения вдоль траектории проекция вектора напряжённости равна просто модулю этого вектора E(r). В итоге и мы можем сделать важный шаг в нашем расчёте – совершить переход от криволинейного интеграла к обычному определённому:

.^*)

Теперь после подстановки выражения для модуля напряжённости поля точечного заряда (3.5) нам остаётся всего лишь математическая «рутина»:

.

Выпишем результат ещё раз, дополнив его учётом возможного наличия газообразной или жидкой однородной диэлектрической среды с проницаемостью , заполняющей всё окружающее точечный заряд пространство:

. (3.8)

Потенциал поля точечного заряда, как видим, убывает с расстоянием по закону 1/r.

• Эквипотенциальные поверхности

При обсуждении силовой характеристики электростатического поля мы убедились в плодотворности понятия силовых линий (линий напряжённости). Для энергетической характеристики поля – потенциала – полезно также ввести дополнительную иллюстративную характеристику – систему «эквипотенциальных поверхностей». Из самого названия ясно («экви» означает «равный»), что это поверхности постоянного потенциала, которые характеризуют способность сил поля совершать работу при перемещении заряда. Вдоль таких поверхностей работа, очевидно, вообще не совершается. Она максимальна по направлениям, по которым максимальна густота (плотность) расположения эквипотенциальных поверхностей. В этих местах максимальна и напряжённость поля. Нетрудно сообразить, какова и взаимная ориентация силовых линий и эквипотенциальных поверхностей в местах их пересечений: они взаимно перпендикулярны. Ведь при любом малом перемещении вдоль эквипотенциальной поверхности элементарная работа равна нулю, а это возможно только в случае, если равна нулю касательная составляющая вектора напряжённости, т.е. он направлен строго по нормали к поверхности. Ниже мы приводим цепочку соответствующих этим словам, надеемся, довольно очевидных равенств:

(или  )

Вместе с рис. 3. … они доказывают, по сути, уже сформулированное утверждение: силовые линии пересекают (или «подходят к …») эквипотенциальные поверхности под прямым углом!

Приведём картину эквипотенциальных поверхностей (и силовых линий тоже) для некоторых простейших уже хорошо нам знакомых случаев электростатического поля: а) поле точечного заряда; б) поле двух одинаковых по модулю разноимённых точечных зарядов; в) поле между двумя разноимённо заряженными плоскопараллельными большими (по сравнению с расстоянием между ними) пластинами – см. рис. 3.1.