VКоррекция системы управления. Синтез регулятора.

Рассмотрим несколько альтернативных методов, использующих разные формы математического представления исходной системы:

1. Операторный метод

Метод, основанный на задании желаемой передаточной функции скорректированной системы.По известным коэффициентам полинома исходной системы и желаемому полиному проектируемой системы вычисляются коэффициенты передаточной функции регулятора. Разработаны рекомендации по применению стандартных передаточных функций различных степеней.

Пусть регулятор включен последовательно с объектом управления.

Введем обозначения:

- Для объекта управления:

,и– известные полиномы степенейи,

- Для регулятора:

,и– причем ни степенииполиномови, ни их коэффициенты не известны.

Тогда желаемая передаточная функция замкнутой системы:

При этом неизвестные коэффициенты полиномов иопределяются из системы уравнений, получающихся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях обеих частей полиномиального уравнения:

Число уравнений равно , а число неизвестных равно, и чтобы система была разрешима, число уравнений не должно превышать числа неизвестных:

или

Диаграмма Боде передаточной функции системы без коррекции имеет такой вид

Рис. 6

Система не устойчива и процесс расходится, что видно из графика отклика системы на единичный скачок

Рис. 7

Теперь скорректируем нашу систему, добавив звено регулятора:

Для нашей системы:

Листинг

w1=tf([10],[1]); %as w2=tf([9,4.8,9.1,-0.48,-1,0],[1]); %bs w3=tf([3.44,2.56,4.6,1.613,0.1],[1]); %ms w4=tf([0,0.111,0.941,3.386,6.582,7.128],[1]); %ns w5=tf([1],[1,9,36,84,126,126,84,36,9,1]) %ds wp=1/((w1*w3)+(w2*w4)) wz=feedback(wp,0); figure(1) step(wz) figure(2) step (w5,'r')

2. Mетод корневого годографа (Siso Tool)

Второй метод синтеза регулятора - наглядный, с использованием утилиты SISO Tool, которая входит в пакет Matlab и позволяет наглядно синтезировать регулятор, размещая на годографе или диаграмме боде нули и полюсы желаемого регулятора. Полученный регулятор имеет очень быстрое время регулирования, и пиковое значение минимально отклоняется от желаемого.

Синтез по ЛАФЧХ системы с желаемыми свойствами сводится к построению так называемой «желаемой» частотной характеристики. Ее главная особенность – наличие участка с наклоном -20 дБ/дек, в центральной части которого лежит частота среза ω_ср. Эта частота разделяет лежащую левее область усиления (L>0 дБ) от области ослабления справа. Наклон -20 дБ/дек соответствует асимптотическому значению фазы -π/2, что позволяет обеспечить требуемый запас по фазе ∆φ=π-φ_(ω_ср ), измеряемый на частоте ω_ср и запас по амплитуде ∆L, измеряемый на частоте, при которой ∆φ=-π

Регулятор создается путем добавления нулей и полюсов в его передаточную функцию, а также изменением его коэффициента передачи. При этом в реальном времени отображается изменение передаточной функции разомкнутой системы, корневого годографа и прочих отображаемых характеристик (например, переходной характеристики).

«Желаемая» ЛАФЧХ строится путем добавления нулей в регулятор, но для того, чтобы он был практически реализуем, необходимо также добавить и полюса.

Возьмем нашу передаточную функцию ОУ и запустим SISO DESIGNE TOOL.

Создадим передаточную функцию ОУ и запустим SISO DESIGNE TOOL.

Листинг

w1=tf([10],[1,0]);

w2=tf([1],[10,0,-1]);

w3=tf([1],[0.9,0.48,1]);

w=w1*w2*w3;

sisotool(w)

В результате в рабочей области будет создана переменная w – передаточная функция ОУ и на экране появится рабочие окна SISO DESIGNE TOOL.

Рис. 8

Коррекция системы утилите SISO Tool.

Используем метод построения желаемой ЛАЧХ.

Исходная система :

Рис. 9

Сейчас наклон в районе частоты среза составляет -40 дБ/дек, сделаем его "желаемым" -20 дБ/дек, для этого добавим

Создадим регулятор.

Чтобы упростить процесс, зададим коэффициент наклона -20Дб.

Рис. 10

Мы можем видеть, что на частоте среза (w_ср) наклон нашей АЧХ достигает -20ДБ, чего мы и добивались. Для этого мы добавили в нашу систему сопряженную пару нулей и полюсов.

Чтобы вывести на экран переходную характеристику, надо воспользоваться командой Response to Step Command в меню Analysis. В появившемся окне вызовем контекстное меню и в разделе Systems уберем галочку с пункта Closed-Loop r to u (это нужно, чтобы отображалась только переходная характеристика на выходе системы без наложения характеристики регулятора). Воспользовавшись разделом Characteristics контекстного меню, выведем график показателя качеств.

Рис. 11

Переходный процесс системы на выходе. Процесс является затухающим, что говорит об устойчивости системы.

Рис. 12

Наша система стала устойчивой. ФЧХ пересекает уровень –πправееw_ср, что говорит об устойчивости нашей системы.

Из проведенного исследования можно сделать вывод о том, что нам удалось создать устойчивую систему, используя возможности SISODESIGNETOOL. Узнали, как с помощью данной программы создавать регулятор для нашей системы, тем самым обеспечивать ее устойчивость

Рис. 13

3. Коррекция методом ПИД- регулятора

Возьмём звено : wa=tf([90/t,200/t,200/t,25/t,1],[10/(t),100/(t),1000/(t),1000/(t),70])

Рис. 14

Подставим это звено последовательно в систему. Получим диаграмму Боде нашей системы такого вида:

Рис. 15

При к=2 наблюдается наилучшая устойчивость системы

Запас по фазе 6 градусов

Запас по амплитуде 7,39

Рис. 16

Рис. 17

Листинг программы:

w1=tf([10],[1,0]);

w2=tf([1],[10,0,-1]);

w3=tf([1],[0.09,0.48,1]);

w=w1*w2*w3

for k=2

t=(1.8)^k

wa=tf([90/t,200/t,200/t,25/t,1],[10/(t),100/(t),1000/(t),1000/(t),70]);%01

%wa=tf([7/t,5/t,9/t,3/t,1],[0.2/(t),2/(t),6.6/(t),13/(t),14]);

%wreg=tf([3.445108434,2.56765612784,4.60038916286,1.6128443872,0.1],[0.11111,0.9407408,3.385926,6.58223857,7.128443872]

%wa=tf([90/t,200/t,200/t,25/t,1],[10/(t),100/(t),1000/(t),1000/(t),700])

wn=w*wa

%figure(1)

%bode(wa)

figure(1)

bode(wn)

%wzn=feedback(wn,1)

%figure(1)

step(wa)

hold on

end