13.Задачі цілочисельного лп. Геометрична інтерпретація системи обмежень задач цілочислового програмування.

Умова цілочисловості є по суті нелінійною і може зустрічатися в задачах, що містять як лінійні, так і нелінійні функції. Задачі математичного програмування, в яких крім умови цілочисловості всі обмеження та цільова функція є лінійними, що мають назву цілочислових задач лінійного програмування.

Загальна цілочислова задача лінійного програмування записується так: за умов: ; ; — цілі числа .

Скажімо, множина допустимих розв’язків деякої нецілочислової задачі лінійного програмування має вигляд, зображений на рис. 6.1

Геометрично множина допустимих планів будь-якої лінійної цілочислової задачі являє собою систему точок з цілочисловими координатами, що знаходяться всередині опуклого багатокутника допустимих розв’язків відповідної нецілочислової задачі. Отже, для розглянутого на рис. 6.1 випадку множина допустимих планів складається з дев’яти точок (рис. 6.2), які утворені перетинами сім’ї прямих, що паралельні осям Ох₁ та Oх₂ і проходять через точки з цілими координатами 0, 1, 2. Для знаходження цілочислового оптимального розв’язку пряму, що відповідає цільовій функції, пересуваємо у напрямку вектора нормалі до перетину з кутовою точкою утвореної цілочислової сітки. Координати цієї точки і є оптимальним цілочисловим розв’язком задачі. У нашому прикладі оптимальний цілочисловий розв’я­зок відповідає точці М ( ).

Очевидно, особливість геометричної інтерпретації цілочислової задачі у зіставленні зі звичайною задачею лінійного програмування полягає лише у визначенні множини допустимих розв’язків. Областю допустимих розв’язків загальної задачі лінійного програмування є опуклий багатогранник, а вимога цілочисловості розв’язку приводить до такої множини допустимих розв’язків, яка є дискретною і утворюється тільки з окремих точок.

Рис 6.1 Рис 6.2

14. Постановка транспортної задачі і її цільова функція. Види транспортних задач. Математичні моделі відкритих і закритих транспортних задач

Транспортна задача — це специфічна задача лінійного програмування, застосовувана для визначення найекономічнішого плану перевезення однорідної продукції від постачальників до споживачів.

Постановка транспортної задачі.

Припустимо,існує m:A1...Am постачальників з запасом вантажу відповідно a1...am та n споживачів B1...Bn з потребами в1...вn .Загальні запаси=загальним потребам.

Задана матриця Сі, з елементами ij, С=(С ij), де С ij-вартості перевезень 1 вантважу від і-го постачальника j-му споживачеві. Для розв”язку вводиться Xij, X=(Xij)min, де xij-кіл-сть вантажу, яка перевозиться від i пост-ка j споживачеві.

Мат модель ТЗ:

Z=

де хij — кількість продукції, що перевозиться від і-го постачальника до j-го споживача; сij — вартість перевезення одиниці продукції від і-го постачальника до j-го споживача; аi — запаси продукції і-го постачальника; bj — попит на продукцію j-го спо­живача. Планом транспортної задачі називають будь-який невід’єм­ний розв’язок системи обмежень) транспортної задачі, який позначають матрицею   . Оптимальним планом транспортної задачі називають матрицю   , яка задовольняє умови задачі і для якої цільова функція набуває найменшого значення.

Транспортна задача поділяється на два види: транспортна задача по критерію вартості – визначення плану перевезень, при якому вартість вантажу була б мінімальна; транспортна задача по критерію часу - важливішим є виграш за часом.

 Якщо в транспортній задачі не виконується така умова , тобто загальна кількість продукції постачальників дорівнює загальному попиту всіх споживачів, то транспортну задачу називають незбалансованою, або відкритою.

Математична модель відкритої транспортної задачі має вигляд:

Пропозиція більше за потреб:

       ∑  x_ij  ≤  А_і (і= 1,m)                                                   

Потреби більше за пропозицію:

 ∑  x_ij  ≤  В_j ( j= 1,m)             

    

Оптимальним планом транспортної задачі називають матрицю    , яка задовольняє умови задачі і для якої цільова функція набуває найменшого значення. Теорема(умова існування розв’язку транспортної задачі). Необхідною і достатньою умовою існування розв’язку транспортної задачі є її збалансованість, тобто  .

Якщо в транспортній задачі загальна кількість продукції постачальників дорівнює загальному попиту всіх споживачів, тобто , (5.5) то таку транспорту задачу називають збалансованою, або закритою.