8.1.2. Движение электрона в магнитном поле
Сила Лоренца
,
действующая на движущийся в магнитном
поле заряд, направлена перпендикулярно
индукции и скорости заряда . Спроектируем
вектор скорости
на направление,
параллельное вектору магнитной индукции
и перпендикулярное этому направлению,
т.е.
.
Так как
,
то вектор
сохраняется
в ходе движения заряда. В плоскости,
перпендикулярной силовой линии магнитной
индукции заряд движется по окружности
с центростремительным ускорением
.
Угловую скорость или циклическую частоту
движения заряда по окружности найдем
из условия
,
Откуда, учитывая,
что
,
получим:
. (4)
Для радиуса окружности соответственно имеем:
, (5)
где
– проекция импульса частицы на направление
перпендикулярное вектору магнитной
индукции .
называют циклотронной
или ларморовой
частотой, а
– радиусом
ларморовой окружности.
В результате в
свободном пространстве заряд движется
по спирали вокруг магнитной силовой
линии с частотой
,
радиусом в плоскости перпендикулярной
силовой линии, а скорость заряда в вдоль
силовой линии сохраняется во времени
.
В кристалле,
помещенном во внешнее магнитном поле,
помимо силы Лоренца на электрон будут
действовать силы со стороны ионов
кристаллической решетки, которые
учитываются введением периодического
потенциала самосогласованного поля
.
Если внешнее поле однородно или слабо
изменяется на расстояниях порядка
межатомного, то движение электрона во
внешнем поле описывается квазиклассическими
уравнениями движения, в которых импульс
заменен
на квазиимпульс
,
масса m
– на эффективную массу m*,
а результирующая сила
– на внешнюю силу
.
Изменение квазиимпульса во времени
определяется квазиклассическим
уравнением вида:
. (6)
Во внешнем (по отношению к кристаллу) однородном магнитном поле квазиимпульс электрона будет изменяться во времени согласно уравнению:
, (7)
где
– групповая скорость блоховского
электрона.
Умножим скалярно обе части уравнения (7) на вектор , получим
. (8)
Это равенство выражает закон сохранения энергии, так как
. (9)
Отсюда следует, что электрон в магнитном поле движется по изоэнергетической поверхности, в частности, в металле – по поверхности Ферми.
.
(10)
Физически это связано с тем, что сила Лоренца перпендикулярна скорости электрона и поэтому не совершает работы. Умножим скалярно обе части уравнения (7) на вектор магнитной индукции :
.
(11)
Разложим вектор
на две
составляющие
– параллельную вектору
и –
перпендикулярную вектору
.
Скалярное
произведение двух перпендикулярных
векторов и равно нулю, поэтому из (11)
имеем:
,
т.е.
.
(12)
Отсюда следует, что проекция квазиимпульса электрона на магнитное поле сохраняется при его движении:
.
(13)
Соотношения (10) и (13) описывают траекторию движения зонного электрона во внешнем магнитном поле. Она представляет собой кривую, по которой поверхность Ферми пересекается плоскостью, перпендикулярной магнитному полю. Равенство (13) является уравнением секущей плоскости.
а) б)
|
Рис. 8.2. Траектории движения электрона
в пространстве квазиимпульсов во внешнем
магнитном поле: а) на сферической
поверхности Ферми (изотропный закон
дисперсии
;
б) на несферической поверхности Ферми
(анизотропный закон дисперсии) при
различных значениях Р׀׀,
для траектории (1) Р׀׀=0,
для траектории (2) Р׀׀¹0
Установим связь между траекторией электрона в P-пространстве и траекторией электрона в кристаллической решетке. Спроектируем уравнение (7) на плоскость, перпендикулярную магнитному полю:
,
(14)
где
,
и
–
компоненты квазиимпульса, скорости и
радиуса вектора электрона в плоскости
проекции. Векторы
,
и образуют правовинтовую тройку
векторов. После интегрирования по
времени этого выражения получим связь
между модулями векторов
и
:
.
(15)
Следовательно, проекция траектории электрона в решетке на плоскость, перпендикулярную , совпадает по форме с соответствующей по форме траекторией электрона в Р-пространстве, но отличается от нее по размерам в (Ве)-1 раз.
Из рис. 8.2 видно, что в случае анизотропного закона дисперсии электронов и, следовательно, несферической формы поверхности Ферми, траектория электрона в кристаллической решетке, помещенной во внешнее магнитное поле, может существенно отличаться от окружности, которая описывает траекторию заряда под действием силы Лоренца в свободном пространстве. Циклотронная частота движения данного электрона в магнитном поле будет определяться формулой (4) с заменой массы m на эффективную массу m*, называемой циклотронной массой электрона:
.
(16)
Для реализации
циклотронного движения электронов
металла во внешнем однородном постоянном
магнитном поле необходимо, по крайней
мере, чтобы длина свободного пробега
превышала радиус ларморовой окружности,
т.е.
.
Для оценки
положим
,
скорость фермиевского электрона
м/с при
=3
эВ, тогда из формулы (5) при
Тл получим оценку
м. В чистых
монокристаллах при температуре 1-10 К
длина свободного пробега электрона
составляет
м.
Поэтому для
наблюдения циклотронного движения
необходимы совершенные монокристаллические
образцы, гелиевые температуры и магнитные
поля с индукцией около 1 Тл. Для
циклической частоты, согласно (4), получим
с-1.