2. Графический анализ задач оптимизации с двумя переменными

При числе переменных, равном двум и трем система MathCAD позволяет дать наглядную графическую интерпретацию задачи и ее решения. Рассмотрим в качестве примера задачу из [4]. Найти максимум целевой функции

(5)

при ограничениях

, , (6)

, , (7)

В документе MathCAD дается графический анализ задачи (рис. 35).

Задача оптимизации

Решение задачи

Графическая интерпретация задачи:

Границы области

Уравнение целевoй функции для оптимального решения

На рис. 35 построены графики прямых, ограничивающих искомую область (6)

, , ,

показанных толстыми линиями и прямой, соответствующую максимальной прибыли

,

показанной тонкой линией. В соответствии с общими свойствами задачи [4] решение (отмеченное кружком) находится на границе допустимой области.

Рис.35. Графический анализ задачи оптимизации

Задания.

8.2.1. Решить оптимизационные задачи с двумя переменными из табл. 14.

Таблица 14

№	Целевая функция	Максимум или минимум	Ограничения
1		максимум
2		минимум
3		максимум
4		максимум
5		минимум
6		минимум
7		минимум
8		минимум
9		минимум
10		максимум

8.2.2. Решить оптимизационные задачи с тремя переменными (21.1, 21.4,-21.6 и другие) из учебника [4]. Сделать графический анализ  построить плоскости, ограничивающие допустимую область.

8.2.3. Решить оптимизационные задачи из [4,9].

9. Программирование в среде MathCad

В системе MathCAD 2000 имеется возможность создания программных блоков (модулей). В тексте документа они выделяются жирной вертикальной чертой. Модуль может вести себя как безымянная функция без параметров, но возвращающая результат и как функция с именем и параметрами. Средства программирования сосредоточены в палитре программных элементов Programming (Программирование) (рис. 2).

На рис. 36 показан пример использования инструкций if и otherwise для построения сложного выражения – функции, определяемой несколькими формулами при различных значениях аргумента. Модуль вводится при выборе элемента палитры Add Line, который создает и при необходимости удлиняет (с добавлением мест ввода) жирную вертикальную черту. Справа от нее в местах ввода задается запись инструкций. Ранжированные переменные MathCAD не обеспечивают полноценной замены циклов, поэтому в системе имеются инструкция for для записи циклов с заданным числом повторений и инструкция while для организации циклов, действующих до тех пор, пока выполняется некоторое условие. Примеры применения этих инструкций для вычисления факториала приведены на рис. 37.

Рис. 36. Использование инструкций if и otherwise

Рис. 37. Программирование циклов в MathCAD

Приведем полный набор инструкций для создания программных модулей:

• Add Line – выполняет функции расширенного программного блока. Расширение фиксируется удлинением вертикальной черты блоков или их древовидным расширением. Благодаря этому, в принципе, можно создавать сколь угодно большие программы;

• ← – символ локального присвоения (в теле модуля);

• if – условная инструкция, которая задается следующим образом:

Выражение If условие

Если условие выполняется, то возвращается значение выражения.

• for – инструкция задания цикла с фиксированным числом повторений. Она записывается в виде:

for Var € Nmin..Nmax

Эта запись означает, что выражение, помещенное в расположенное ниже место ввода, будет выполняться для значения переменной Var, меняющейся от Nmin до Nmax с шагом +1;

• while – инструкция задания цикла, действующего до тех пор, пока выполняется некоторое условие. Она записывается в виде:

while условие ;

• otherwise – инструкция иного выбора (обычно применяется с if);

• break – инструкция вызывает прерывание выполнения программы всякий раз, как она встречается. Чаще всего эта инструкция используется совместно с условной инструкцией if и инструкциями циклов while и for, обеспечивая переход в конец тела цикла;

• continue – инструкция продолжения работы после прерывания программы. Она чаще всего используется совместно с инструкциями циклов While и for ;

• return – инструкция возврата;

• on error – инструкция обработки ошибок.

Задания

9.1. Составить программные блоки для вычисления функций из примеров на с.25 с записью отдельной формулы для . Это избавит от необходимости искусственной малой добавки под знаком корня. Построить поверхности и уровни указанных функций.

9.2. Составить программные блоки для вычисления сумм, произведений и пределов, приведенных в заданиях к работе 1 на с. 13

9.3. Составить программу решения уравнений методом Ньютона

,

причем вычисления следует проводить пока . Предусмотреть проверку выполнения условия для начального приближения

.

9.4. С помощью программы из п. 9.3 решить уравнения из задания 4.1.1, построить графики функций, сделать проверку.