Ответы на Экз. программу Ворд / шпоры ворд / 6.Изгиб.тонких.пластин / 6.Изгиб.тонк.пластин

6. Изгиб тонких пластин

Основные гипотезы. Внутренние силовые факторы в сечениях пластин. Вывод уравнений равновесия для элемента пластины. Связь между компонентами деформаций и нормальным прогибом. Выражение внутренних силовых факторов через нормальный прогиб. Дифференциальное уравнение равновесия. Типичные краевые условия. Нормальные и касательные напряжения.

Основные гипотезы:

Рис.6.1.

Предполагаем: h/a<<1, h/b<<1 , a и b одного порядка

1.Гипотеза прямых нормалей:

Рис.6.2.

Нормаль АВ=А`B`, т.е. нормаль, проведенная к срединной поверхности до деформации остается прямой и нормальной к срединной поверхности и после деформации. Это позволяет связать перемещение произвольной точки пластины (оболочки) с перемещениями срединной поверхности.

2.Гипотеза о ненадавливании слоев

Рис.6.3.

СИГМАz/СИГМАx<<1, СИГМАy/СИГМАx<<1 , т.е.напряжения переходим к плоскому напряженному состоянию.

Гипотезы 1. и 2. объединяют в одну: Гипотезу Киргофа-Лява.

Применимо только при h/a,h/b<<1!!!!!

3.Материал пластин подчиняется закону ГуКа.

ЕПСИЛОНх=1/E*(СИГМАх-МЮ*СИГМАy)

ЕПСИЛОНy=1/E*(СИГМАy-МЮ*СИГМАx)

С учетом гипотезы о ненадавливании слоев, получим:

СИГМАх=Е/(1-МЮ^2)*(ЕПСИЛОНх+МЮ*ЕПСИЛОНy)

СИГМАy=Е/(1-МЮ^2)*(ЕПСИЛОНy+МЮ*ЕПСИЛОНx)

,где

МЮ-к-т Пуассона

Е-модуль упругости,200ГПа

ЕПСИЛОН-дефформация

Изгиб тонких пластин:

Рассматриваем пластину, нагруженную силой, нормальной к срединной плоскости. Перемещение U-Ox,V-Oy,w-Oz.

Рис.6.4

w/h<<1 – прогибы малы. Следовательно растяжением срединой поверхности и сдвигами можно пренебречь (линейная теория), тогда Nx=0,Ny=0,Nxy=0,Nyx=0

Внутренние силовые факторы:

Рис.6.5

Qx,Qy-поперечные силы, но размерности величин Н/м – интенсивность силы.

Mx,My-изгибающие моменты (индексы принимаются по направлению соответствующих осей)-Н*м/м. Они >0, если они действуют в положительном направлении осей.

Mxy,Myx – крутящие моменты (Н*м/м)(В индексе первая буква – вдоль какой оси действуют, вторая – направление нормали)

Вывод уравнения равновесия для элемента пластины:

1)Рис.6.5. Записывает уравнения равновесия:

СУММz=0

dQx/dx+dQy/dy=p (1)

СУММmom(Oy)=0

dMx/dx+dMxy/y=Qx (2)

СУММmom(Ox)=0

dMy/dy+dMyx/x=Qy (3)

Имеем систему трёх уравнений с 6-тью неизвестными.

Необходимо еще 3 уравнения.

Выявляем связь между компонентами деформации и нормалью прогиба:

Рис.6.6

Вырезаем прямоугольный элемент dx,dy,dz.

Произошла деформация; ЕПСИЛОН=ДЕЛЬТАl/l

U=U(x,y)-перемещение по оси Ox

V=V(x,y)-перемещение по оси Oy

w=w(x,y)-перемещение точек срединной поверхности (z=0) в направлении оси

Формулы Каши: (1)

ЕПСИЛОНx=dU/dx– деформация по оси Ox

ЕПСИЛОНy=dU/dy – деформация по оси Oy

ГАММАxy=dU/dy+dV/dx

Необходимо выразить перемещения U и V через прогиб(гипот.Кирхгофа-Лява(гипотиза прямых нормалей))

Рис.6.7

U(x,y,z)=-z*ФИх(x,y)= -z*dw/dx(2)

V(x,y,z)= -z*ФИy(x,y)-z*dw/dy(2)

ФИх,y-углы поворота нормали относительно оси Ox,Oy

Подставляя (2) в (1) потом в обобщенный закон ГуКа (через СИГМЫ) и зависимость ТАУxy=G*ФИxy

G=E/2(1+МЮ)- модуль сдвига

Получим зависимость внутренних силовых факторов от нормального прогиба.

В итоге имеем 6-ть уравнений с 6-тью уравнениями.

(Смотри «решение»)

Запишем интегральное представление для внутренних силовых факторов:

Рис. Интеграл.завис

Mx=-ИНТЕГРАЛ(-h/2,h/2)СИГМАх*z*dz=D*(КАППАх+МЮ*КАППАy)

My=-ИНТЕГРАЛ(-h/2,h/2)СИГМАy*z*dz=D*(КАППАy+МЮ*КАППАx)

Mxy=Myx= ИНТЕГРАЛ(-h/2,h/2)ТАУxy*z*dz=D*(1-МЮ)*КАППАxy

D=E*h^3/(12*(1-МЮ^2)) – цилиндрическая жесткость(зависит только от типа материала)

Дифференциальное уравнение равновесия:

У-ие Софи Жерми-Лагранжа

DТРИУГОЛЬНИКтРИУГОЛЬНИКw=p

D*[(d^4w/dx^4)+(2*d^4w/dx^2*dy^2)+(d^4w/dy^4)]=p

Относительно w(x,y) – краевая задача, требующая краевых условий для точного решения.

Типичные краевые условия

1.Шарнирное опирание:

Рис.6.7

Краевые условия при х=0

w=0, Mx=0.

d^2x/dx^2=0

2.Жесткое защемление:

Рис.6.8

w=0,ФИх=0,

dw/dx=0

3.Ненагруженный свободный край:

Рис.6.9

Казалось бы, что Qx=0,Mx=0,Myx=0.

На самом деле, как доказал Кирхгов, Mx и Qx не являются независимыми

Q*x=Q+dMyx/dy

Q*x-обобщенная (приведенная) Кирхгофова сила

Тогда получим 2-а граничных условия:

Mx=0, Q*x=0

Нормальные и касательные напряжения при изгибе пластины:

Рис.6.10

СИГМАх=-12*Mx*z/h^3

СИГМАy=-12*My*z/h^3

ТАУxy=ТАУyx=-12*Mxy*z/h^3

max/min=СИГМАх(z=+-h/2)=+-6*Mx/h^2

max/min=СИГМАy(z=+-h/2)=+-6*My/h^2

max/min=ТАУхy(z=+-h/2)=+-6*Mxy/h^2