Ответы на Экз. программу Ворд / шпоры ворд / 8. осесимметр. деформ. круговой цилинд. оболочки / 8.3.Дифф.у-е.Интегрирование

8.3.Дифференциальное уравнение равновесия в перемещениях.

Используем уравнение равновесия: dQ/dx = p – N_y/R dM_x/dx = Q

Получаем: p – N_y/R = D*d^4w / dz^4

При этом продольное усилие равно: N_x = E*h / (1 – МЮ^2) * (e_0 + МЮ*w / R) = const

Окружное усилие: N_y = E*h / (1 – МЮ^2) * (w / R + МЮ*e_0 )

Решаем совместно эти уравнения исключив е_0:

N_y = МЮ*N_x + E*h*w / R

D*d^4w/dx^4 + E*h*w/R^2 = P – МЮ*N_x / R ----- дифференциальное уравнение изгиба

При R стремится к бесконечности D*d^4w/dx^4 = P

Интегрирование уравнения равновесия.

w(x) = w_0(x) + w`

D*d^4w/dx^4 + E*h*w/R^2 = 0 ----- дифференциальное уравнение изгиба

Принимаем обозначение 4*k^4 = E*h / R^2 = 12* (1 – МЮ^2) / R^2*h^2

Решение : w(x) = C1*e^(-kx)*coskx + C2*e^(-kx)*sinkx + C3*e^(kx)*coskx + C*e^(kx)*sinkx

Эта формула используется для расчета длинных оболочек.

Для расчета коротких оболочек используется формула с гиперболическими синусами и косинусами.

Частный интеграл неоднородного уравнения: p – МЮ*N_x / R = f(x) N_x = const

Если внешней нагрузкой является газовое давление, то р = const, если гидростатическое давление – то p – линейная функция f(x^n) n <=3.

d^4w` / dx^4 = 0 f(x) = E*h*w`/ R^2

w` = pR^2/E*h - МЮ*N_x*R / E*h - частное решение.

Общее решение :

w(x) = C1*e^(-kx)*coskx + C2*e^(-kx)*sinkx + C3*e^(kx)*coskx + C*e^(kx)*sinkx + w`(x)

первые 4 слагаемых учитывают моментную (изгибную) деформацию, последнее (частное решение) – безмоментную деформацию.