Ответы на Экз. программу Ворд / шпоры ворд / 8. осесимметр. деформ. круговой цилинд. оболочки / 8. осесимметр. деформ. круговой цилиндр. оболочки

8. осесимметричная деформация круговой цилиндрической оболочки.

Основные гипотезы:

1. Элемент, нормальный к определенной поверхности оболочки остается нормальным к ней и после деформации. (гипотеза Кирхгофа-Лява)

2. Нормальные напряжения на площадках, нормаль к которым совпадает с нормалью к срединной поверхности пренебрежимо малы.

3. Изменения длины нормального к срединной поверхности элемента пренебрежимо малы.

РИС. 8.1.

Уравнения равновесия для элемента оболочки.

РИС.8.2.

5 внутренних силовых факторов, которые надо определить: N_x, N_y, Q, M_x, M_y

Элемент оболочки находится в равновесии. Записываем уравнения статики.

1. Сумма по оси Х = 0

-N_x*dy + (N_x + dN_x)*dy + …… = 0 отсюда N_x = const

2. Сумма по оси Z = 0

dQ/dx = p – N_y/R

3. Сумма моментов относительно сечения К-К ` = 0

dM_x/dx = Q

остальные уравнения обращаются в тождества.

Связь между компонентами деформации и нормальным прогибом.

Рис. 8.3.

e_0 – деформация срединной поверхности (безразмерная величина)

е*x*dx = e_0*dx – z*d(фи)

фи = dw/dx d(фи) = (d^2w/dx^2) *dx

e_x = e_0 – z * (d^2w/dx^2)

e_тетта = w/R

эти соотношения помогают найти неизвестные внутренние силовые факторы.

Выражение внутренних силовых факторов через нормальный прогиб.

Рис. 8. 4

Напряженное состояние является плоским.

Из обобщенного закона Гука выразим напряжения: СИГМА Х = Е / (1-МЮ^2) * (e_x + МЮ*e_y) = Е / (1-МЮ^2) * (e_0 – z*d^2w/dx^2 + МЮ*w / R)

СИГМАY = Е / (1-МЮ^2) * (e_y + МЮ*e_x) = Е / (1-МЮ^2) * (w / R + МЮ*e_0 – МЮ*z*d^2w/dx^2)

выразим внутренние силовые факторы через напряжения сигма Х и сигма Y

N_x = интеграл (h/2 _ -h/2) СИГМА Х по dz = … = E*h / (1 – МЮ^2) * (e_0 + МЮ*w / R)

N_y = интеграл (h/2 _ -h/2) СИГМА Y по dz = … = E*h / (1 – МЮ^2) * (w / R + МЮ*e_0 )

M_x = – интеграл (h/2 _ -h/2)СИГМА Х*z по dz =E*h^3 / 12*(1– МЮ^2)* d^2w/dx^2= D*d^2w/dx^2

M_y = – интеграл (h/2 _ -h/2)СИГМА Y*z по dz = МЮ*D*d^2w/dx^2 = МЮ*М_х

Дифференциальное уравнение равновесия в перемещениях.

Используем уравнение равновесия: dQ/dx = p – N_y/R dM_x/dx = Q

Получаем: p – N_y/R = D*d^4w / dz^4

При этом продольное усилие равно: N_x = E*h / (1 – МЮ^2) * (e_0 + МЮ*w / R) = const

Окружное усилие: N_y = E*h / (1 – МЮ^2) * (w / R + МЮ*e_0 )

Решаем совместно эти уравнения исключив е_0:

N_y = МЮ*N_x + E*h*w / R

D*d^4w/dx^4 + E*h*w/R^2 = P – МЮ*N_x / R ----- дифференциальное уравнение изгиба

При R стремится к бесконечности D*d^4w/dx^4 = P

Интегрирование уравнения равновесия.

w(x) = w_0(x) + w`

D*d^4w/dx^4 + E*h*w/R^2 = 0 ----- дифференциальное уравнение изгиба

Принимаем обозначение 4*k^4 = E*h / R^2 = 12* (1 – МЮ^2) / R^2*h^2

Решение : w(x) = C1*e^(-kx)*coskx + C2*e^(-kx)*sinkx + C3*e^(kx)*coskx + C*e^(kx)*sinkx

Эта формула используется для расчета длинных оболочек.

Для расчета коротких оболочек используется формула с гиперболическими синусами и косинусами.

Частный интеграл неоднородного уравнения: p – МЮ*N_x / R = f(x) N_x = const

Если внешней нагрузкой является газовое давление, то р = const, если гидростатическое давление – то p – линейная функция f(x^n) n <=3.

d^4w` / dx^4 = 0 f(x) = E*h*w`/ R^2

w` = pR^2/E*h - МЮ*N_x*R / E*h - частное решение.

Общее решение :

w(x) = C1*e^(-kx)*coskx + C2*e^(-kx)*sinkx + C3*e^(kx)*coskx + C*e^(kx)*sinkx + w`(x)

первые 4 слагаемых учитывают моментную (изгибную) деформацию, последнее (частное решение) – безмоментную деформацию.

Физический смысл частного решения.

Рассмотрим деформацию цилиндрической оболочки, применяя безмоментную теорию (основанную на том, что напряжения СИГМА_m и СИГМА_тетта связаны уравнением Лапласа, а так же толщина стенки много меньше радиуса R).

РИС.8.5.

Площадки, по которым действуют напряжения - главные.

РО_тетта = R, РО_m стремится к бесконечности.

СИГМА_тетта = p*R / h

СИГМА_m = N_x / h

Из закона Гука: е_тетта = 1/Е *( СИГМА_тетта – МЮ* СИГМА_m)

w_безмом = дельтаR = дельта p / 2*ПИ = е_тетта*R

решаем совместно эти уравнения и получаем частное решение: w` = w_безмом = e_тетта*R = p*R^2 / E*h - МЮ*N_x*R / E*h

вывод: частный интеграл неоднородного уравнения осесимметричного изгиба круговой цилиндрической оболочки имеет смысл нормального прогиба оболочки, найденного по безмоментной теории.

Типичные краевые условия.

А. Защемленный край оболочки. РИС.8.6

Прогиб и угол поворота равны 0:

x=0 : w = 0, фи = 0, dw/dx = 0

Б. шарнирное опирание. РИС.8.7

При х = 0: w = 0, M_x = D* d^2w/dx^2 = 0, d^2w/dx^2 = 0 ,

В. Свободный край оболочки. РИС.8.8

При х = L : M_x = 0, Q = 0, d^2w/dx^2 = 0, d^3w/dx^3 = 0.

Г. Загруженный край оболочки. РИС.8.9

При х = L: M_x = D* d^2w/dx^2 = m, d^2w/dx^2 = m/D

Q = D* d^3w/dx^3 = q, d^3w/dx^3 = q/D. D – цилиндрическая жесткость пластины.

На каждом краю оболочки можно поставить по 2 условия. Получаем 4 уравнения, которые позволяют найти постоянные интегрирования.

Определение внутренних силовых факторов и напряжений.

Внутренние силовые факторы можно найти, если известно значение w(x).

N_x = const N_y = E*h *w / R + МЮ*N_x

M_x = D*d^2w/dx^2 M_y = МЮ* M_x

Q = D*d^3w/dx^3

Уравнения для напряжений: СИГМА_х = N_x/h – 12*M_x * z /h^3 СИГМА_y = N_y/h – 12*M_y * z /h^3

При изменении z от h/2 до –h/2 :

Max(Min) СИГМА_х = N_x/ h +(-) 6*M_x/ h^2

СИГМА_у аналогично.

РИС. 8.10.

Теория краевого эффекта для круговой цилиндрической пластины.

Краевой эффект - местный изгиб, возникающий в результате закрепления краев нагруженной оболочки, резкого изменения ее толщины, а так же в областях приложения сосредоточенных нагрузок. Длина зоны краевого эффекта принимается равной:

лямбда = 2.45*корень(R*h)

эта величина почти всегда значительно меньше длины оболочки.

Изгибные деформации существенны только вблизи краев оболочки. Напряженное состояние в центральной зоне близко к безмоментному напряженному состоянию. Из условий ограниченности решения на бесконечности константы С3 и С4 полагаются равными 0 и тогда:

w(x) = C1*e^(-kx)*coskx + C2*e^(-kx)*sinkx + w`(x)

(применяется только при Х >= лямбда)

Полная формула: w(x) = C1*e^(-kx)*coskx + C2*e^(-kx)*sinkx + C3*e^(kx)*coskx + C*e^(kx)*sinkx + w`(x)

Для оболочек конечной длины это решение тем точнее, чем быстрее затухает краевой эффект.

Лямбда = ПИ/k kx = ПИ*x / лямбда k – волновое число.

k = (корень^4 (3*(1-МЮ^2))) / корень(R*h) при МЮ = 0.3

влияние краевого эффекта становится несущественным уже на расстоянии полуволны от краевого эффекта (х = лямбда - е^(-kx) = 0.04).

Если l > = 2.45*корень(R*h) то оболочку можно считать бесконечной.