- •Турбулентный след за цилиндром
- •7.2. Описание турбулентности
- •Основные свойства турбулентности:
- •7.3. Турбулентное течение в трубах
- •Если ввести коэффициент сопротивления трубы согласно соотношению:
- •7.4. Турбулентный пограничный слой
- •7.5. Развитая турбулентность и спектры турбулентности
- •Каков же механизм диссипации энергии при турбулентном движении с различными масштабами?
- •Закон Колмогорова-Обухова (1941г.)
Турбулентный след за цилиндром
След за наклонной плоской |
След за танкером, севшим на мель |
|
пластинкой |
||
|
Когерентная структура при большем числе Рейнольдса
Турбулентное пламя
Турбулентные свободная и пристенная струи; Re=4520
Турбулентность на поверхности океана
7.2. Описание турбулентности |
r |
|
|
|
|
|||
r |
r |
r r' |
r |
r |
r r' |
r |
|
|
v |
,t) |
|||||||
v |
v |
v0 +v |
(r,t) |
|
v |
v0 +v |
(r |
|
|
r' |
r |
|
|
r' |
r |
|
|
|
v |
(r ,t) |
|
|
v |
(r,t) |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
r |
|
tлам tтурб |
|
v0 |
|
|
|
v0 |
||
|
t |
|
|
|
|
t |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Перемежаемость |
|
Развитая турбулентность |
t / tкоэффициент перемежаемости
лам турб
|
|
|
|
|
Поведение поля скорости |
|
Частотный спектр |
|
Энергетический спектр |
Основные свойства турбулентности:
•турбулентность наступает после нарушения устойчивости ламинарного течения при Re>Reкр;
•турбулентность развивается в пространстве и во времени;
•турбулентность характеризуется хаотическим изменением гидродинамических величин, поэтому может быть описана случайными функциями координат и времени;
•турбулентность характеризуется иногда перемежаемостью – установлением в некоторых точках пространства или в некоторые промежутки времени квазиламинарного режима;
•турбулентность при больших числах Рейнольдса иногда проявляет эффекты когерентности – установление в течениях регулярных пространственно- временных структур.
7.3. Турбулентное течение в трубах
r |
|
v0 |
U |
Средняя скорость течения жидкости в турбулентном потоке есть:
U (v* / ) ln Rv* / (*) U Q / R2
где - постоянная Кармана. Получим связь этой средней скорости с перепадом |
|||||||||||
давления. Средняя сила трения на стенки есть |
тр v*2 |
. Суммарная сила |
|||||||||
трения на стенки трубы длиной L есть |
2 LRv*2 |
. Откуда баланс трения и |
|||||||||
работы сил давления получается в форме: |
|
|
|
|
|||||||
|
p / L 2 v*2 / R |
(**) |
|
||||||||
Откуда, сравнивая уравнения (*) (**), получаем: |
|
|
|
|
|||||||
U |
|
R p |
R |
R p |
|
|
|||||
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
(***) |
|
|
2 |
2 |
L |
|
2 L |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Соотношение (***) носит название закона сопротивления трубы
Если ввести коэффициент сопротивления трубы согласно соотношению: |
|||||
|
|
|
2R p / L |
|
|
|
|
|
U 2 / 2 |
|
|
Зависимость от числа Рейнольдса последнего коэффициента определяется по |
|||||
формуле: |
1 |
|
|
|
|
|
0,88ln(Re |
) 0,85 , где Re 2R U / |
|||
|
|
|
|
|
|
Можно сравнить коэффициенты сопротивления в трубе для ламинарного и |
|||||
турбулентного течений. |
|
|
|
|
|
|
64 , |
при Re 2300 ламинарное течение |
|||
ln |
|
Re |
|
|
|
турб |
|
0,0032 |
0,221 |
, при турбулентном течении |
|
|
|
Re0,237 |
|||
|
|
|
|
|
|
64 |
|
Нетрудно видеть, что сопротивление в ламинарном |
|||
Re |
|
||||
|
потоке сильнее падает с ростом числа Рейнольдса, чем |
||||
|
ln Re |
в турбулентном! При этом при критическом числе Re* |
|||
|
наблюдается скачок сопротивления! |
||||
Reкр |
|
|
|
|
|
7.4. Турбулентный пограничный слой
Рассмотрим пограничный слой на пластине. Согласно теории Кармана-Прандтля (1930-
1932гг.), можно записать для скорости в турбулентном |
погранслое: |
|
|
|
|
y |
U (v* / ) ln v* / |
||||
vx |
v* |
- скорость |
пульсационного |
||
движения |
|
|
|
||
|
|
d |
: |
v* |
|
|
|
dx |
U |
|
vx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ламинарный |
: v* x / U |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
подслой |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тр v* , |
||
ламинарный |
xcr |
|
турбулентный |
|
|
|
|
|
|
U (v* / ) ln v*2 x / U |
|||||||||||||||||||||||||||||
переходный |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Коэффициент сопротивления пластины: c 2 тр / U 2 |
2(v* / U )2 |
Исключая скорость v* |
, получим выражение для вычисления коэффициента |
||
сопротивления пластины: |
|
||
|
|
2 2 / c ln c Rex |
(Rex U x / ) |
7.5. Развитая турбулентность и спектры турбулентности
Пусть имеет место турбулентное движение, которое описывается как турбулентные пульсации различных масштабов (т.е. движений с заметным изменением скорости на таких масштабах). С увеличением числа Re сначала появляются более крупномасштабные движения, а затем и более мелкие масштабы. При очень больших числах Re – имеют место все масштабы турбулентных пульсаций.
масштабы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…… все масштабы Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Re |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кр |
|
|
Изменение масштабов пульсаций с ростом числа Re |
Можно определить число Рейнольдса в зависимости от масштабов движения:
Re v /
Каков же механизм диссипации энергии при турбулентном движении с различными масштабами?
: L |
* = = L |
* |
|
|
Инерционный интервал |
Зона диссипации |
|
Зона генерации |
турбулентного движения |
||
|
|||
турбулентного движения |
|
|
Каскадный процесс переноса энергии от больших масштабов к малым (Ричардсон, 1922г.)
Пусть q - среднее количество энергии, диссипируемое в единицу времени в единице
массы жидкости. Если ввести изменение средней скорости турбулентного движения u
q : ( u)3 / L
Тогда |
. В турбулентном режиме удобно ввести не обычную, а так называемую |
|||||||
турбулентную вязкость, согласно соотношению: |
|
|
||||||
|
|
|
|
турб : u L |
|
|
||
|
турб / : Re |
|
|
|
- таким |
|
||
Откуда: |
q : турб ( u / L)2 |
образом, диссипация |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
энергии турбулентного движения |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
связана |
со |
специфической |
|
|
|
|
|
|
турбулентной вязкостью |
Закон Колмогорова-Обухова (1941г.)
На масштабах - Lимеет место мелкомасштабная турбулентность, которую можно считать однородной и изотропной. Можно определить масштаб изменения скорости турбулентного движения на расстояниях порядка (величина v - скорость турбулентных движений на этих масштабах):
v : (q )1/ 3 - закон Колмогорова-Обухова
Если ввести вместо длин соответствующие «волновые числа» турбулентных |
|||||||||||
пульсаций k : |
1/ , тогда кинетическая энергия (единицы массы жидкости) есть |
||||||||||
E(k) возбуждение |
|
|
|
|
|
- знаменитый закон «5/3» Колмогорова |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E(k) : |
q2/ 3k 5/ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(для инерционного интервала) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
E(k) ~ k -5/3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
инерционный |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
интервал диссипация |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k0=2 |
/d |
|
|
|
k |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Поток энергии |
|
|