Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции гидродинамика Тф-14 / ГЛАВА 3. ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ new.ppt
Скачиваний:
174
Добавлен:
26.05.2014
Размер:
8.24 Mб
Скачать

3. Гидродинамика вязкой жидкости

Обратимся к случаю, когда необходимо учитывать процессы диссипации в жидкости. В реальных жидкостях всегда имеет место термодинамическая необратимость, связанная с наличием эффектов внутреннего трения (вязкости) и переноса тепла(теплопроводности).

Понятно, что полученные ранее уравнения гидродинамики идеальной жидкости не содержат подобных эффектов (это относится только к уравнению Эйлера – уравнение неразрывности сохраняет свою силу).

Вывод уравнения для учета потерь от внутреннего трения основывается на следующих соображениях. Наличие внутреннего трения (вязкости) проявляется в наличии дополнительного (необратимого) переноса импульса из мест с большей скоростью в места с меньшей скоростью.

Формально, необходимо дополнить поток импульса для идеальной жидкости необратимым термом, имеющим физический смысл необратимого переноса импульса (диссипации).

 

ik p ik vi vk 'ik ik vi vk

где тензор

ik p ik 'ik

- называется тензором напряжений

 

Как устроены нормальные и касательные компоненты тензора напряжений в жидкости?

Тензор ik'

носит название вязкого тензора напряжений.

Тензор ik определяет часть потока импульса, которая не связана с диссипацией

(обратимый перенос импульса)

Общий вид вязкого тензора напряжений можно установить на основе определенных соображений, справедливость которых может подтвердить только эксперимент.

v

Поле скоростей в жидкости

ik ik

3.1. Обобщенный закон Ньютона

vi

 

ik :

 

x

 

 

k

ik

неньютоновская вязкая жидкость

 

(сложная реология)

 

 

ньютоновская

 

 

вязкая жидкость

 

 

неньютоновская вязкая жидкость

 

(сложная реология)

 

vi / xk

 

3.2. Вывод уравнений вязкой жидкости

Для того, чтобы установить общий вид тензора вязких напряжений, используем следующие соображения:

процессы внутреннего трения имеют место, если различные участки жидкости

движутся с различной скоростью – тензор вязких напряжений должен зависеть от

производных скорости жидкости по координатам

ik' : vi / x;k

если градиенты скорости не очень велики, то можно, разложив тензор вязких напряжений в ряд по градиентам скоростей по координатам, оставить только первые члены (обобщенный закон Ньютона для сил трения в жидкости);

члены, не зависящие от градиентов скоростей по координатам должны

отсутствовать в тензоре вязких напряжений, поскольку при v=const он должен

обращаться в нуль;

тензор вязких напряжений должен быть симметричным, в силу изотропности

жидкости, поэтому единственными комбинациями первых производных от скорости жидкости по координатам могут быть суммы ( vi / xk ) ( vk / xi )

Общий вид тензора второго ранга, который удовлетворяет приведенным выше условиям, является:

'

 

 

vi

vk 2

 

vl

 

 

vl

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

ik

 

ik

 

 

 

x

 

3

x

 

 

x

 

(3.1)

 

 

 

x

k

i

 

l

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь коэффициенты и , которые не зависят от скорости, называются

соответственно коэффициентами первой и второй вязкости. Обе эти величины всегда положительны.

Уравнение движения вязкой жидкости можно получить непосредственно прибавляя

в правую часть уравнения Эйлера величины

: ik' / xk

 

 

 

 

 

 

 

 

vi

 

 

 

 

p

 

 

'

 

 

 

 

vi

v

k

 

 

 

ik

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

xi

xk

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

v

 

2

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

 

 

xi

 

 

xk

 

 

 

 

 

xi

3

 

xl

 

 

 

 

 

xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xi

 

(3.2)

 

 

vl

 

 

 

 

 

 

xl

Это наиболее общий закон движения вязкой жидкости; величины и вообще

говоря, могут зависеть от давления и температуры (вместе с последними величинами, коэффициенты вязкости могут меняться от точки к точке, поэтому не вынесены за знак производных).

Если коэффициенты вязкости постоянны вдоль жидкости, то можно получить следующее уравнение из (3.2):

(3.3) v

t

r r

 

r

 

+

 

(v )v

p v+

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

r

divv

- уравнение Навье-Стокса

(Навье – 1827г. – из модельных соображений; Стокс – 1845г. – приведение к современной форме)

Если жидкость несжимаема, тот уравнение Навье-Стокса сильно упрощается divv 0 :

r

r r

 

1

 

 

r

(3.4)

v

 

 

(v )v

 

 

p

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

Тензор напряжений в несжимаемой жидкости принимает сравнительно простой вид:

C.L.Navier (1785-1836)

G.G.Stokes (1819-1903)

 

 

 

 

 

 

 

ik p ik

vi

 

vk

 

(3.5)

 

 

x

x

i

 

 

k

 

 

Таким образом, процессы диссипации (внутреннего трения) в несжимаемой жидкости описываются всего одним коэффициентом - коэффициентом динамической вязкости. Величина / - носит название кинематической

вязкости

Для несжимаемой жидкости, аналогично случаю уравнения Эйлера, можно исключить в уравнении Навье-Стокса давление. Применив операцию ротор к обеим частям уравнения (3.4), получим:

 

r

r r

r

 

 

rotv=rot vrotv rotv

(3.6)

t

 

 

 

 

Если распределение скоростей найдено, то давление находится из соотношения (оно получается применением к уравнению (3.4) операции дивергенция:

p

v

i

v

 

 

2 v

v

k

 

 

 

k

i

 

(3.7)

xk

 

xi xk

 

xi

 

 

3.3. Граничные условия для вязкой жидкости

3.3.1. Кинематические граничные условия

На границе с твердым (неподвижным) телом из-за сил

 

 

 

межмолекулярного взаимодействия всегда должно быть

 

 

 

 

r

0 (3.8)

 

 

 

vw

 

v

 

 

 

Таким образом, и нормальная и касательная

На подвижной твердой границе,

компоненты скорости на

неподвижной

твердой границе должны обращаться в нуль:

движущейся со скоростью:

r

r

(3.8а)

v

v

 

(3.8б)

vn

v 0

 

 

w

Условие равенства нулю касательной компоненты скорости в макроскопической гидродинамике носит название непроскальзывания (отсутствие скольжения на границе – no slip condition)

В микро- и наногидродинамике подобное условие может не выполняться !!!

3.3.2. Динамические граничные условия

Для сил на границе с жидкостью должны выполняться условия непрерывности; на границе раздела фаз должны выполняться условия равенства нормальных и касательных напряжений:

ii(1)

p(1)

(1)

(2)

 

 

p(1) p(2) p

(3.9)

ik(1)

ik(1) 1

ii

ii

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

(1)

 

(2)

 

 

; i k

(3.10)

 

 

 

ik

ik

 

 

 

 

ii(2)

p(2)

 

 

 

 

 

 

межфазная

 

 

 

 

Общий вид капиллярного

 

(2)

(2)

граница

 

 

 

 

(нормального) давления и

ik

ik

n p капиллярное (нормальное) давление

 

касательной компоненты

 

 

 

ik ik касательная компонента

 

 

 

тензора напряжений на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

границе должен

 

 

 

 

 

 

 

 

устанавливаться отдельно

Поучение 1. Уравнения Навье-Стокса в различных координатах А. Декартовы прямоугольные координаты:

vx v

x

vx

t

 

x

vy

v

 

 

vy

 

 

x

x

t

 

vz v

x

vz

t

x

vx + vy +

x y

+vy

+vy

+vy

vz

z

vx

y

vy

y

vz

y

0

+vz vx z

+vz vy z

+vz vz z

Fx 1 p vx

x

Fy 1 p vy

y

Fz 1 p vz

z

Б. Цилиндрические координаты:

vr

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

v2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 p

 

 

 

 

 

 

 

vr

 

 

 

2 v

 

 

 

(v )vr

 

 

 

 

 

 

 

 

Fr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

r

 

 

 

r

r

2

r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

vr v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 p

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

(v )v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

2

 

 

r

2

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(v )vz Fz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 (r v

)

+

1

 

v

+

 

v

z

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где (v )f=vr r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vz z

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

f

 

 

 

 

 

 

 

1 2

f

 

 

 

2

f

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vr