Метода Непрерывные системы радиоавтоматики / FAPCH

2

Передаточная функция разомкнутой системы ФАПЧ, при коэффициенте усиления системы

Кф (Sг Sд) , гетеродин безынерционен Wг(p) := Sг

Wраз(p) := Wд(p) Wф(p) Wгет(p) Wинт(p)

Wраз(p) float ,3

→ (1. + 5.00 10-4 p)5.(1. + 5.00 10-2 p) p

Передаточная функция замкнутой системы ФАПЧ:

Wзам(p) :=

1

Wраз(p)

+ Wраз(p)

simplify

2.00 105

Wзам(p)

float,3 →

4

2.02 10

3

p

2

+ p

3

+ 2.00 10

5

4.00 10 p +

Заменой p=jω будет определятся значение комплексного коэффициента передачи:

Wраз(j ω) float ,3

→ −5. (1. + 5.00 10-4 i ω) (i1. + 5.00 10-2 i ω) ω

Wзам(j ω)

simplify

i

float

,3

→ 2.00 105

−4.00 104 ω − 2.02 103 i ω2 + ω3 + 2.00 105 i

Линейная АЧХ (дБ):

lω := −1 ,−0.95 ..3

Логарифмический масштаб

W(ω) := Wраз(ω)

w(lω) := 10lω

w(−1) Hz = 0.016 Hz

Λ(ω) := 20 log( W(j ω)

)

2π

w(3) Hz = 159.155 Hz

w(−0.95) Hz = 0.018 Hz

2π

2π

40

102

28

16

4

8

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Λ(w(lω))

20

32

44

56

68

80

w(lω)

3

Линейная ФЧХ (градусы!):

Φ(ω)

:= arg(W(j ω)) deg− 1

200

160

120

80

Φ(w(lω)) 40

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

40

80

120

160

200

w(lω)

Для того чтобы построить годограф выделим действительную и мнимую составляющую в

передаточной функции разомкнутой системы: W(j ω) → −5

i

1

1

i ω

1 +

1

i ω

+

20

ω

2000

U(ω) := Re(W(j ω))

V(ω) := Im(W(j ω))

U(ω)

complex

−4.04 108

floatsimplify,3

→

(4.00 106 + ω2) (

400. + ω2)

V(ω)

complex

2.00 105

−4.00 104 + ω2

simplify→

(4.00 106 + ω

2) (400. + ω2) ω

float ,3

ω := 0.01 ,1 ..80

U(0.001) = −0.252

"Точка Найквиста"

Point := (−1

0 )

V(0.001) = −5 × 103

1

V(ω)

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

Point 1

1

2

3

U(ω),Point 0

Ккр

ω := ω

Wраз(p ,Ккр) :=

(1 + p Tф) (1 + p Tд) p

U(ω,Ккр) := Re(Wраз(j ω,Ккр))

V(ω,Ккр) := Im(Wраз(j ω,Ккр))

U(ω,Ккр) := U(ω,Ккр)

complex

Ккр

simplify→ −8.08 107

(400. + ω

2) (4.00 106 + ω2)

float,3

V(ω,Ккр) := V(ω,Ккр)

complex

4.00 104 Ккр

−4.00 104 + ω2

simplify→

(400. + ω2) (4.00 106 + ω2) ω

float,3

Given

)

U

(ω,

=

−

1

(ω,

Ккр

V

)

= 0

Ккр

Minerr(Ккр,ω) float,3

2.02 10

3

2.02 10

3

→

200.

−200.

Ккр := 2.02 103

Выбираем положительные решения из матрицы решений:

U(ω) := U(ω,Ккр)

ωкр := 200.

ωкр

V(ω)

:= V(ω,Ккр)

fкр :=

Hz

fкр = 31.831 Hz

ω := 10− 10 ,0.1 ..80

2π

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

0

V(ω)

Point 1

2

5

Задание 2

k := 0.8Ккр

ω := ω

Амплитудно-частотная характеристика ЧАП:

k = 1.616 × 103

W(p) :=

k

1

1

1

+ 2000

p

1 +

20

p p

Соответственно ЛАЧХ

Λ(ω)

:= 20 log( W(j ω) )

Для устойчивости замкнутой системы РА необходимо и достаточно, чтобы выполнялось

условие ωср< ωкр

Определим ωср

(частота среза, значение частоты при котором график ЛАЧХ пересекает ось ω)

root(Λ(ω_),ω_) float,6 → (−1999.93 i 1999.93 i −180.702 i 180.702 i −178.863 178.863 )

Отбросив комплексные корни и отрицательное значение получим ωср := 178.863

10

7.5

ωср

ωкр

5

2.5

Λ(w(lω))

100

120

140

160

180

200

220

240

2.5

5

7.5

10

w(lω)

ЛФЧХ

Φ(ω) := arg(W(j ω)) deg− 1

200

ωср

ωкр

100

Φ(w(lω))

100

120

140

160

180

200

220

240

100

200

w(lω)

∆Λ = 1.938

Дб

По фазе:

∆Φ :=

Φ(ωкр)

−

Φ(ωср)

∆Φ = 1.27

град

Динамическая ошибка

V := 200

t := t

λ(t) := V t

λ'(t) := d λ(t)

λ'(t) → 200

dt

d2

λ''(t) :=

λ(t)

λ''(t) → 0

2

dt

Wраз(p) :=

k

1616.000

(1 + p Tф) (1 + p Tд) p

Wраз(p) →

1

1

1

+

p

1 +

p p

1

2000

20

Wд(p) :=

1 + Wраз(p)

Wд(p) simplify → (2000. + p) (20. + p)

p

40000. p + 2020. p2 + p3 + 64640000.

замечаем, что порядок системы n := 3

0

1

→ 40000.

2020

(2000. + p) (20. + p) p coeffs ,p

a

:=

2020.

40000

1