Основы радиосхемотехники / Учебник по САЭУ(2005) / САЭУ кн.1 / УДК 621ред2
.doc
УДК 621.375.681(0.75.8)
Королев В.А. Теряев Б.Г.
Анализ линейных искажений в импульсных и широкополосных усилителях с передаточной функцией второго порядка в области малых времен (высших частот) с применением обобщенных графиков.
Операторное выражение коэффициента передачи (усиления) по напряжению в области малых времен (высших частот) для многих реальных схем импульсных и широкополосных усилителей имеет вид:
, (1)
где p – оператор Лапласа-Карсона, Ku – коэффициент передачи по напряжению в области средних частот (времен). Вводя новый оператор , получаем нормированную передаточную функцию:
, (2)
где , - безразмерные коэффициенты; при этом вместо круговой частоты ω имеем безразмерную круговую частоту , а вместо времени t – безразмерное время . На рис. 1 показаны возможные АЧХ и ПХ для схем второго порядка. АЧХ могут быть либо монотонные (кривая 1), либо с единственным максимумом на частоте Ωδ (кривая 2), причем превышение над уровнем 1, называемое неравномерностью АЧХ, ; ПХ могут быть либо монотонные (кривая 1), либо с единственным выбросом ε (кривая 2), либо с бесчисленным количеством затухающих выбросов (затухающие колебания около уровня 1 - кривая 3). Аналитические выражения для частотного анализа:
- (3)
Рис. 1, а
Рис. 1, б
амплитудно-фазовая характеристика.
- (4)
квадрат АЧХ (см. рис.1, а).
(5)
фазо-частотная характеристика (ФЧХ), представляющая собой аргумент комплексного числа как функция частоты Ω.
- (6)
круговая верхняя граничная частота, определяемая по уровню (см. рис.1, а).
Условие монотонности АЧХ (т.е. δ = 0):
. (7)
На границе монотонности АЧХ, т.е. при выполнении условия (7), иногда называемого условием Брауде, ;
в частности, при g1 = 0 и получается АЧХ Баттерворта, которую достаточно часто используют при проектировании активных фильтров, для нее Ωв = 1. Граница монотонности АЧХ изображена на рис. 2, а вид соответствующей АЧХ – на рис. 1, а, кривая 1. Если , то в АЧХ имеется единственный экстремум (максимум) (см. рис. 1, а, кривая 2) на частоте
(8)
(при g1 = 0 будет ), причем неравномерность АЧХ:
. (9)
При : и , т.е. на частоте получается резонанс и АЧХ претерпевает разрыв.
Рис. 2
Пользоваться соотношениями для Ωв и δ на практике неудобно, поэтому соответствующие графики даны на рис. 3 и 4. Кроме того, на рис. 5 приведены линии равной неравномерности (δ = const), а соответствующие этим линиям значения Ωв отмечены штриховыми кривыми на рис. 3.
Рис.3
Рис.4
Рис.5
Аналитические выражения для временного анализа:
Переходная характеристика (см. рис.1, б):
(10)
где и - вещественные полюсы функции (2) при d1>2; и - вещественные и мнимые части комплексно-сопряженных полюсов функции (2) при d1<2; ).
При имеет место апериодический режим, при - критический, при колебательный.
Условие монотонности ПХ (т.е. ε = 0):
или , (11)
т.е. если g1, то ПХ монотонны при d1 (в апериодическом и в критическом режимах); если же g1 > 1, то ПХ монотонны лишь при (в апериодическом режиме). Граница монотонности ПХ изображена на рис. 6, а вид соответствующей ПХ – на рис. 1, б, кривая 1.
Если g1 > 1, то при d1 = 2 (в критическом режиме) в ПХ имеется один выброс (см. рис. 1, б, кривая 2), причем момент достижения ПХ максимума:
. (12, а)
Если g1 > 1, то при d1 > 2 (в апериодическом режиме) в ПХ имеется один выброс, но лишь при d1 < g1+1 / g1, причем:
(12, б)
При d1<2 (в колебательном режиме) и любом значении g1 в ПХ имеется бесчисленное количество затухающих выбросов и первый из них – наибольший (см. рис. 1, б, кривая 3), причем момент достижения ПХ первого максимума:
(12, в)
где .
Рис. 6
Величину выброса можно определить по формулам:
(13)
В частности, при g1 = 0 ПХ монотонна при d1 2, т.е. в апериодическом и в критическом режимах, а при d1 < 2, т.е. в колебательном режиме, первый (наибольший) из затухающих выбросов можно найти по более простой, чем в соотношении (13), формуле:
, (14)
а момент его достижения вместо соотношения (12, в) – по формуле . ПХ с одним выбросом при g1 , в частности, при g1 = 0, не существуют.
При : , и , где , т.е. переходный процесс превращается в незатухающие гармонические колебания, так что в момент
Нетрудно заметить, что аналитические выражения для временного анализа еще сложнее для вычислений, чем в случае частотного анализа. Еще хуже обстоят дела с вычислением времени нарастания фронта - его нахождение требует решения трансцендентных уравнений =0,1 и . Поэтому приходится применять подходящие аппроксимации. Наиболее удобная из них – формула Элмора:
. (15)
Однако эта формула применима лишь для монотонных ПХ, т.е. при ε = 0 (что имеет место лишь при выполнении условия (11)). Для оценки длительности фронта при ε < 20 % можно использовать формулу
(16)
Но эта формула пригодна лишь при g1 = 0.
Упомянутые сложности вычислительного характера приводят к необходимости представить результаты в виде графиков зависимостей = f (d1;g1) (рис. 7) и ε = f (d1;g1) (рис. 8). Кроме того, на рис. 9 приведены линии равного выброса (ε = const) в координатах (d1;g1), а соответствующие этим линиям значения для обозначены штриховыми кривыми на рис. 7.
Представленные в статье обобщенные графики верхней граничной частоты и неравномерности АЧХ, а также времени нарастания фронта и выброса в ПХ, соответствующие нормированной передаточной функции вида (2), позволяют значительно облегчить не только анализ, но и оптимизацию и синтез пассивных элементов, влияющих на линейные искажения
в области высших частот (малых времен), при проектировании
широкополосных и импульсных усилителей.
Рис. 7
Рис. 8
Рис. 9