Лекции / Курс лекций 2
.docТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru
Глава 2. Аналитические функции. Конформные отображения.
§1 Аналитические функции
-
Дифференцируемость. Условия Коши-Римана, моногенность.
f(z) – однозначная функция в области DC, w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y), z = x + i y, z = x + iy, w = f = u + iv.
Определение. Моногенность или существование производной в точке. Существует конечный предел.
Замечание: Для существования f(z0) необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности (проколотой) точки z0 имело место представление
w = A z + z, ( A = f(z0) ), - бесконечно малая.
Теорема. Для того, чтобы однозначная функция f(z) = u(x,y) + i v(x,y) была моногенной в точке z0 необходимо, а в случае дифференцируемости u, v и достаточно, выполнения условий Коши-Римана
Необходимость: Возьмём z = x, тогда f(z0) = ux +ivx. Возьмём z = iy, тогда f(z0) = uy +ivy = vy -i uy. Сравнивая, получим требуемые соотношения.
Достаточность: В силу дифференцируемости w = u + i v = uxx + uyy +|z|+i(vxx + vyy) +i|z|= uxx + uyy +i(-uy x + ux y)+|z|= (ux -iuy) x + (ux -iuy )iy+|z|=(ux -iuy) z+|z||=(ux -iuy) z+ z=Az+z.
Замечание 1. Как это следует из доказательства в случае дифференцируемости u и v имеет место равенство
w = uxx + uyy +i(-uy x + ux y)+z
Замечание 2. Можно показать, что uxx + uyy +i(vxx + vyy) = . Действительно: x =,y = , x= , y = , f=uxx+uyy+ i(vxx+vyy)+|z|, f=u(,)+iv(,), поэтому
,
,
Замечание 3. Выполнение равенства и условий Коши-Римана эквивалентно равенству .
Замечание 4. Как видно из предыдущего, если функция f дифференцируема в смысле действительного анализа, то
Фиксируем z=|z| ei. Производная в этом направлении
существует и зависит от , если . Таким образом у моногенной функции производная не зависит от направления.
-
Голоморфные функции. Аналитичность.
Однозначная функция w=f(z) комплексного переменного, дифференцируемая в некоторой окрестности точки z0 называется аналитической в точке z0.
Функция называется голоморфной в области D, если она аналитична в каждой точке области D. Иногда говорят об аналитичности в области.
Так же, как для пределов действительных функций и производных действительных функций доказываются обычные свойства пределов и правил дифференцирования. Например, имеют место следующие свойства:
-
сумма двух аналитичных в точке функций будет аналитичной функцией в этой точке и (f(z) + g(z))=f(z)+g(z)
-
аналогичные свойства для произведения и частного (выписать формулы дифференцирования ), таблица производных.
В частности, многочлены и рациональные функции ( дать вначале определение рациональной или , что то же, дробно рациональной функции ).
-
Сложная функция. Пусть w=g(),=f(z), g аналитична и однозначна в , а f аналитична в D и осуществляет однозначное отображение D в , тогда суперпозиция w=g(f(z)) аналитична в D. Справедливо обычное правило дифференцирования сложной функции.
-
Теорема. Сумма степенного ряда есть аналитическая функция внутри круга сходимости и в этом круге ряд можно почленно дифференцировать.
Доказательство: Отметим вначале, что
,
для доказательства того, что радиус остаётся тем же
Пусть r=|z0|, выберем , удовлетворяющее условию r<<R, где R -радиус сходимости, |z|=|z-z0|<-r
Степенной ряд сходится абсолютно при z=, поэтому для заданного >0
:.
Для этого N выбираем <-r так, чтобы при |z-z0|< выполнялось неравенство ,
тогда при |z-z0|< будет выполнено неравенство . Действительно, имеем
<<+< < .
Следствие 1. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в круге сходимости любое число раз.
Следствие 2. Если степенной ряд сходится в круге |z-z0|<R,R>0 к функции f(z), то Доказательство: дифференцировать нужное число раз и подставить z=z0.
Определение. Если f(z) имеет производные любого порядка, то ряд называется рядом Тейлора функции f(z). Как это видно из Следствия 2, ряд является рядом Тейлора своей суммы. Из Следствия 2 также следует теорема единственности разложения в степенной ряд:
Теорема. Если два ряда и совпадают в круге |z-z0|<R,R>0, то ak=bk.
Определение. Функция f(z) называется регулярной в точке z0 если она определена в окрестности точки z0 и в некоторой окрестности этой точки
Функция называется регулярной в области, если она регулярна в каждой точке этой области.
§2 Конформные отображения
-
Существование обратной функции для аналитической функции в окрестности точки
Пусть f(z) = u(x,y) +iv(x,y) аналитична в точке z0 и f(z0)0
w=f(z): в окрестности т. z0.
Существует обратная функция в некоторой окрестности точки w0=f(z0), z=f-1(w), причём .
-
Геометрический смысл аргумента производной.
Пусть -гладкая кривая Жордана, заданная уравнением z(t)=x(t)+iy(t),t[,],z’(t)0,t0(,).Обозначим образ кривой при отображении f. Предположим, что f(z) аналитическая в точке z0 функция и f(z0)0.
Имеем : w(t)=f[z(t)],w(t0)=f(z0)z(t0) и Arg f(z0) = arg w(t0) – arg z(t0)
arg z(t0) = , arg w(t0) = - главные значения аргументов, Arg f(z0) - угол поворота кривой в точке z0 при отображении w = f(z), определяемой с точностью до 2k. Как видим, этот угол не зависит от выбора кривой, проходящей через данную точку. В частности, если в плоскости z пересекаются две кривые z1(t), z2(t), имеющие в точке пересечения главные значения аргументов 1, 2, а их образы при отображении w=f(z), соответственно углы 1, 2, то мы получим
2 - 2 =arg f(z0)+2k2, 1 - 1 =arg f(z0)+2k1, откуда, вычитая одно равенство из другого, получим 2 - 1 =2(k2- k1)+ 2 - 1. Полученное равенство позволяет сформулировать следующее
Следствие: При сделанных предположениях ( аналитичность в точке и неравенство нулю производной ) углы при отображении сохраняются. Кроме того сохраняется «порядок обхода». Например, если поворот от касательной к первой кривой в точке пересечения к касательной второй кривой в плоскости z происходит против часовой стрелки, то тоже самое будет наблюдаться и в плоскости w между образами этих кривых.
-
Геометрический смысл модуля производной.
z=x+iy,w=u+iv
, dw=f(z0)dz,
Коэффициент растяжения кривой в точке, не зависит от этой кривой и равен |f(z0)|. Это свойство называется свойством сохранения масштаба в точке z0.
-
Конформные отображения.
Определение (Конформность в C). Непрерывное, взаимно однозначное отображение w=f(z) области D на область D* называется конформным, если в каждой точке D имеет место
-
свойство сохранения углов
-
сохранение масштабов
в перечисленном выше смысле.
Как мы видели, если f(z) аналитична в точке z0 и f(z0), то отображение w=f(z) конформно в некоторой окрестности точки z0.
Определение. Углом между кривыми z1(t), z2(t), в бесконечности ( предполагается, что ) называется угол в 0 между образами этих кривых при отображении w=1/z, то есть между кривыми в т. 0. Изменение масштаба в находится аналогичным образом, предварительно переведя в точку 0 отображением w=1/z.
Решение задач с преобразованиеv углов и масштабов при отображении w=f(z) |
|
Задача |
Решение |
1. z0,f(z0) |
См. f(z0) |
2. z0,f(z0) |
См. w1=f(1/w) в точке w0 0 |
3. z0,f(z0) |
См. в точке z0 |
4. z0,f(z0) |
См. в точке w0 0 |
Пример 1. Исследовать на конформность функцию в расширенной комплексной области.
Решение. В точках отличных от i и конформность следует из существования производной и не равенства её нулю.
В точке z=i значение функции w=, поэтому для исследования в этой точке нужно рассмотреть функцию в точке z=i, (см. таблицу п. 3 ). Конформность следует из существования производной и не равенства её нулю при z=i.
В точке z= значение функции w=1, поэтому для исследования на конформность в этой точке следует «бесконечность в аргументе» перевести предварительно в 0 (или, что то же заменить на 0 с помощью замены переменного ). Таким образом, для исследования берётся функция в точке 0, которая в этой точке имеет производную, отличную от нуля.
Пример 2. Исследовать на конформность в точке z= функцию w=iz-2.
Решение. Во всех точках z производная существует и не равна нулю. При z= , w=, поэтому, согласно определению, необходимо сделать две замены: , и . В итоге, для исследования на конформность имеем функцию . Эта функция в точке =0 имеет производную не равную нулю.
Пример 3: Докажем непосредственно свойство сохранения углов в т. 2i при отображении .
Пусть z1(t) и z2(t) выходят из точки 2i. Для первой кривой t1,1, для второй t2,2. Точка 2i переходит в бесконечность, поэтому будем искать углы между кривыми и в точках 1, 2, соответственно. Для этих кривых имеем , поэтому угол между образами wk в бесконечности будет равен:
Некоторые свойства конформных отображений ( без доказательства )
Свойство сохранения области. Если f(z) аналитична и однолистна (взаимно однозначна) в области D, то f(z)0 в D и f(z) конформно отображает D на D* и f -1(w) аналитична в D* ( где D* образ D при отображении f(z)).
Свойство сохранения границ. Пусть D и D* две области, ограниченные замкнутыми кривыми Жордана D и D*. Если f(z) отображает D на D* конформно, то она отображает на взаимно однозначно и взаимно непрерывно с сохранением ориентации обхода границы.
Свойство взаимно однозначного соответствия. Пусть D и D* две односвязные области, ограниченные замкнутыми кусочно-гладкими кривыми Жордана D и D* . Если аналитическая в D функция взаимно-однозначно и непрерывно отображает D на D* с сохранением обхода, то эта функция конформно отображает D на D*.
Теорема ( Риман ). Если граница односвязной области DC состоит более, чем из одной точки, то существует аналитическая функция, конформно отображающая D на внутренность круга |z|<1, причём эта функция единственна, если задать условия нормировки ( например, перевести заданную точку z0 с заданным направление в заданную точку w0 с заданным направлением.
ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru