Лекции / Курс лекций 6
.docТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru
Глава 6. Элементы теории вычетов и их приложение к вычислению интегралов
§1 Вычеты
1.Определение вычета в конечной изолированной особой точке
a изолированная особая точка. По определению существует кольцо K={0<|z-a|<R}, где f – аналитическая функция.
Определение. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке a называется величина
в положительном направлении.
Определение корректно.
По теореме Лорана
Откуда , таким образом
Пусть a – полюс порядка n
f(z) = c-n(z-a)-n+…+c-1(z-a)-1+c0+c1(z-a)+…,c-n0
тогда
(z-a)nf(z)=c-n+…+c-1(z-a)n-1+c0(z-a)n…
. Таким образом,
(3)
Для полюса первого порядка
Пусть
, - аналитические, (a)0,(a)=0,(a)0.
Отметим, что при сделанных предположениях g(a )= ( a ) . Действительно, по условию (z)=(z-a)g (z), где g (a)0. Тогда, (z)=(z-a)g (z)+g(z), откуда следует, что g(a )= ( a ). Поэтому
(3)
2.Вычет в и.о.т. .
z= и.о.т. функции f, K={R<|z|<}, где f аналитична.
Определение . Вычетом функции f(z) в и.о.т. называется величина
,
- окружность с центром в начале координат, радиуса , проходимая по часовой стрелке.
Теорема Лорана , где
3.Теоремы о вычетах.
Основная теорема. D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа и.о.точек ak, k=1,…,n, f непрерывна в DD. Тогда
Тероема о сумме вычитов. Если функция f аналитична в С кроме конечного число точек a1,…,an, то
4. Принцип аргумента.
Теорема. D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов ak, k=1,…,n порядков k, f непрерывна в DD, f(z)0 в DD, кроме нулей bkD кратностей k. Тогда
Доказательство. Выберем достаточно малые окрестности нулей и полюсов функции f(z). Объединение окружностей-границ этих кругов с положительной ориентацией обозначим (см. рисунок).
Область, полученная из D удалением этих окрестностей вместе с их границами, будет p+n+1 связной областью с границей DE-. В этой области функция аналитична.
Тогда
.
Первый интеграл в правой части этого равенства в силу аналитичности подинтегральной функции. Второй интеграл будет равен
.
В некоторой окрестности нуля b кратности
. Аналогично, в некоторой окрестности полюса
Теорема. Принцип аргумента ( без доказательства ) В условиях предыдущей теоремы:
(D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов ak, k=1,…,n порядков k, f непрерывна в DD, f(z)0 в DD, кроме нулей bk кратностей k. ) Справедливо равенство
где - приращение аргумента функции f при однократном обходе точкой z границы D ( обл. слева )
Основная теорема алгебра. В C всякий многочлен P(z)=Pn(z) имеет ровно n корней.
следовательно, все нули лежат в некотором круге радиуса R, пусть число нулей с учётом кратностей равно N.
, где (z) аналитична в {R1<|z|<}. Поэтому имеем разложение в ряд Лорана, тогда
, откуда следует.
§2. Вычисление интегралов
1.Определение несобственного интеграла
Особенности на концах. - кусочно гладкая, aC ( начало ),b( конец ). F(z) непрерывна во всех конечных z на кроме быть может точки a. Любая окружность с центром в a пересекает кривую не более чем в одной точке.
Определение. Интеграл сходится абсолютно, если существует .
Аналогично определяется несобственный интеграл в случае внутренних особенностей
2. Интегралы вида
Лемма. Если f(z) аналитична в {Im z >= 0 }, кроме конечного числа и.о.т. ak{Im z > 0} и , то
Доказательство. Для R>0 рассмотрим контур С=[-R,R] CR , СR – верхняя полуокружность, проходимая против часовой стрелки, [-R,R] – отрезок, проходимый слева направо. Считаем, что R выбрано достаточно большим так, что контур C содержит все полюса ak . Тогда
=
Далее
.
Переходя к пределу в (*) при R получим требуемое равенство.
Обобщённая лемма (без доказательства). Если f(z) аналитична в { |z|R0, Im z > -a, a>0 } кроме конечного числа о.т. ak{Im z > 0}, на вещественной оси имеются только полюсы первого порядка bk и , то
Пример.
3. Интегралы вида
Лемма Жордана. Если f(z) аналитична в { |z|R0, Im z > -a, a>0 } и (CR - верхняя полуокружность).
Тогда для любого >0.
Доказательство. На окружности радиуса R имеем . Тогда, учитывая неравенство , для окружности z(t)=Reit получим
=.
Следствие. При сделанных предположениях
§3Простейшие классы аналитических функций.
Определение 1. Однозначная функция f(z) называется целой, если она аналитична в С. Целая функция называется целой рациональной, если её полюс. Целая функция называется целой трансцендентной, если существенно особая точка.
Примеры. ez, cos z, sin z, Pn(z).
Свойства целых функций
-
устранимая о.т. целой f, то f есть константа.
Доказательство. Существует предел в бесконечности, поэтому f(z) ограничена в окрестности бесконечности, поэтому она постоянна по теореме Лиувиля.
-
полюс кратности n, n>=1, то f есть полином степени n.
Доказательство.
, обозначим ,
Функция (z)=f(z)-Pn(z) будет, как разность двух целых функций, аналитической во всей комплексной плоскости и имеет в устранимую особенность, следовательно она константа по т. Лиувиля.
Определение 2. Однозначная функция f мероморфна в С, если в любом круге нет других о.т. кроме полюсов.
Свойства мероморфных функций.
-
В любом круге лишь конечное число полюсов.
-
Если - полюс для мероморфной функции, то она рациональна.
Доказательство. Так как и.о.т., то в расширенной комплексной плоскости имеется лишь конечное число полюсов a0=, a1,…,an. Имеем ряды Лорана в окрестностях конечных точек
.
Разложение в окрестности имеет вид
Фунции m, m=0,…,n – рациональные.
имеет точки a0,…,an своими устранимыми особыми точками, поэтому эта функция, после доопределения, будет ограниченной в С и следовательно константой.
Следствие. Рациональная функция представима в виде суммы многочлена и простейших дробей вида . Это фактически доказано в предыдущей теореме.
ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru