Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Лекции / Курс лекций 6

.doc
Скачиваний:
41
Добавлен:
26.05.2014
Размер:
229.38 Кб
Скачать

ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru

Глава 6. Элементы теории вычетов и их приложение к вычислению интегралов

§1 Вычеты

1.Определение вычета в конечной изолированной особой точке

a изолированная особая точка. По определению существует кольцо K={0<|z-a|<R}, где f – аналитическая функция.

Определение. Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке a называется величина

в положительном направлении.

Определение корректно.

По теореме Лорана

Откуда , таким образом

Пусть a – полюс порядка n

f(z) = c-n(z-a)-n+…+c-1(z-a)-1+c0+c1(z-a)+…,c-n0

тогда

(z-a)nf(z)=c-n+…+c-1(z-a)n-1+c0(z-a)n

. Таким образом,

(3)

Для полюса первого порядка

Пусть

, - аналитические, (a)0,(a)=0,(a)0.

Отметим, что при сделанных предположениях g(a )= ( a ) . Действительно, по условию (z)=(z-a)g (z), где g (a)0. Тогда, (z)=(z-a)g (z)+g(z), откуда следует, что g(a )= ( a ). Поэтому

(3)

2.Вычет в и.о.т. .

z= и.о.т. функции f, K={R<|z|<}, где f аналитична.

Определение . Вычетом функции f(z) в и.о.т. называется величина

,

- окружность с центром в начале координат, радиуса , проходимая по часовой стрелке.

Теорема Лорана , где

3.Теоремы о вычетах.

Основная теорема. D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа и.о.точек ak, k=1,…,n, f непрерывна в DD. Тогда

Тероема о сумме вычитов. Если функция f аналитична в С кроме конечного число точек a1,…,an, то

4. Принцип аргумента.

Теорема. D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов ak, k=1,…,n порядков k, f непрерывна в DD, f(z)0 в DD, кроме нулей bkD кратностей k. Тогда

Доказательство. Выберем достаточно малые окрестности нулей и полюсов функции f(z). Объединение окружностей-границ этих кругов с положительной ориентацией обозначим (см. рисунок).

Область, полученная из D удалением этих окрестностей вместе с их границами, будет p+n+1 связной областью с границей DE-. В этой области функция аналитична.

Тогда

.

Первый интеграл в правой части этого равенства в силу аналитичности подинтегральной функции. Второй интеграл будет равен

.

В некоторой окрестности нуля b кратности

. Аналогично, в некоторой окрестности полюса

Теорема. Принцип аргумента ( без доказательства ) В условиях предыдущей теоремы:

(D- ограниченная, односвязная область, ограниченная кусочно гладкой кривой Жордана D, f(z) – аналитическая в D, кроме конечного числа полюсов ak, k=1,…,n порядков k, f непрерывна в DD, f(z)0 в DD, кроме нулей bk кратностей k. ) Справедливо равенство

где - приращение аргумента функции f при однократном обходе точкой z границы D ( обл. слева )

Основная теорема алгебра. В C всякий многочлен P(z)=Pn(z) имеет ровно n корней.

следовательно, все нули лежат в некотором круге радиуса R, пусть число нулей с учётом кратностей равно N.

, где (z) аналитична в {R1<|z|<}. Поэтому имеем разложение в ряд Лорана, тогда

, откуда следует.

§2. Вычисление интегралов

1.Определение несобственного интеграла

Особенности на концах. - кусочно гладкая, aC ( начало ),b( конец ). F(z) непрерывна во всех конечных z на кроме быть может точки a. Любая окружность с центром в a пересекает кривую не более чем в одной точке.

Определение. Интеграл сходится абсолютно, если существует .

Аналогично определяется несобственный интеграл в случае внутренних особенностей

2. Интегралы вида

Лемма. Если f(z) аналитична в {Im z >= 0 }, кроме конечного числа и.о.т. ak{Im z > 0} и , то

Доказательство. Для R>0 рассмотрим контур С=[-R,R] CR , СRверхняя полуокружность, проходимая против часовой стрелки, [-R,R] – отрезок, проходимый слева направо. Считаем, что R выбрано достаточно большим так, что контур C содержит все полюса ak . Тогда

=

Далее

.

Переходя к пределу в (*) при R получим требуемое равенство.

Обобщённая лемма (без доказательства). Если f(z) аналитична в { |z|R0, Im z > -a, a>0 } кроме конечного числа о.т. ak{Im z > 0}, на вещественной оси имеются только полюсы первого порядка bk и , то

Пример.

3. Интегралы вида

Лемма Жордана. Если f(z) аналитична в { |z|R0, Im z > -a, a>0 } и (CR - верхняя полуокружность).

Тогда для любого >0.

Доказательство. На окружности радиуса R имеем . Тогда, учитывая неравенство , для окружности z(t)=Reit получим

=.

Следствие. При сделанных предположениях

§3Простейшие классы аналитических функций.

Определение 1. Однозначная функция f(z) называется целой, если она аналитична в С. Целая функция называется целой рациональной, если её полюс. Целая функция называется целой трансцендентной, если существенно особая точка.

Примеры. ez, cos z, sin z, Pn(z).

Свойства целых функций

  1. устранимая о.т. целой f, то f есть константа.

Доказательство. Существует предел в бесконечности, поэтому f(z) ограничена в окрестности бесконечности, поэтому она постоянна по теореме Лиувиля.

  1. полюс кратности n, n>=1, то f есть полином степени n.

Доказательство.

, обозначим ,

Функция (z)=f(z)-Pn(z) будет, как разность двух целых функций, аналитической во всей комплексной плоскости и имеет в  устранимую особенность, следовательно она константа по т. Лиувиля.

Определение 2. Однозначная функция f мероморфна в С, если в любом круге нет других о.т. кроме полюсов.

Свойства мероморфных функций.

  1. В любом круге лишь конечное число полюсов.

  2. Если - полюс для мероморфной функции, то она рациональна.

Доказательство. Так как  и.о.т., то в расширенной комплексной плоскости имеется лишь конечное число полюсов a0=, a1,…,an. Имеем ряды Лорана в окрестностях конечных точек

.

Разложение в окрестности  имеет вид

Фунции m, m=0,…,n – рациональные.

имеет точки a0,…,an своими устранимыми особыми точками, поэтому эта функция, после доопределения, будет ограниченной в С и следовательно константой.

Следствие. Рациональная функция представима в виде суммы многочлена и простейших дробей вида . Это фактически доказано в предыдущей теореме.

ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru

Соседние файлы в папке Лекции