Сила давления жидкости на криволинейные стенки. Плавание тел

Нахождение силы давления жидкости на поверхности произвольной формы в общем случае приводится к определению трех составляющих суммарной силы и трех моментов. Чаще всего рассматривают цилиндрические или сферические поверхности, имеющие вертикальную плоскость симметрии. Сила давления жидкости в этом случае сводится к равнодействующей силе, лежащей в плоскости симметрии.

Возьмем цилиндрическую поверхность АВ с образующей, перпендикулярной к плоскости чертежа (рис. 1.9), и определим силу давления жидкости на эту поверхность в двух случаях:

Рис1.9,а Рис1.9,б

(Рис. 1.9) Схема для определения силы давления жидкости на цилиндрическую поверхность

1) жидкость расположена сверху (рис. 1.9, а);

2) жидкость расположена снизу (рис. 1.9, б).

В первом случае выделим объем жидкости, ограниченный рассматриваемой поверхностью АВ, вертикальными поверхностями, проведенными через границы этого участка, и свободной поверхностью жидкости, т. е. объем ABCD, и рассмотрим условия его равновесия в вертикальном и горизонтальном направлениях. Если жидкость действует на стенку АВ с силой , то стенка АВ действует на жидкость с силой, направленной в обратную сторону. На рис. 1.15 показана эта сила реакции, разложенная на две составляющие: горизонтальнуюи вертикальную.

Условие равновесия объема ABCD в вертикальном направлении имеет вид

F_B = p₀S_Г + G, (1.31)

где — давление на свободной поверхности жидкости;S_Г — площадь горизонтальной проекции поверхности АВ; G — вес выделенного объема жидкости.

Условие равновесия того же объема в горизонтальном направле­нии запишем с учетом того, что силы давления жидкости на поверхности ЕС и AD взаимно уравновешиваются и остается лишь сила давления на площадь BE, т. е. на вертикальную проекцию поверхности АВ — S_B. Тогда

F_Г=S_Bρgh_C+p₀S_B (1.32)

Определив по формулам (1.31) и (1.32) вертикальную и горизонтальную составляющие полной силы давления F, найдем

Рис 1.10. Схема для подтверждения закона Архимеда.

Когда жидкость расположена снизу (см. рис. 1.9, б), гидростатическое давление во всех точках поверхности АВ имеет те же значения, что и в первом случае, но направление его будет противоположным, и суммарные силы F_B и F_r определятся теми же формулами (1.31) и (1.32), но с обратным знаком. При этом под величиной G следует понимать так же, как и в первом случае, вес жидкости в объеме ABCD, хотя этот объем и не заполнен жидкостью.

Положение центра давления на цилиндрической стенке можно легко найти, если известны силы F_B ж F_rn определены центр давления на вертикальной проекции стенки и центр тяжести выделенного объема ABCD. Задача значительно облегчается в том случае, когда рассматриваемая цилиндрическая поверхность явля­ется круговой. Равнодействующая сила при этом пересекает ось поверхности, так как любая элементарная сила давления нормальна к поверхности, т. е. направлена по радиусу.

Изложенный способ определения силы давления на цилиндрические поверхности применим и к сферическим поверхностям, причем равнодействующая сила в этом случае также проходит через центр поверхности и лежит в вертикальной плоскости симметрии.

Описанный выше прием нахождения, вертикальной составляющей силы давления жидкости на криволинейную стенку используют для доказательства закона Архимеда.

Пусть в жидкость погружено тело произвольной формы объемом V (рис. 1.16). Спроектируем его на свободную поверхность жидкости и проведем проектирующую цилиндрическую поверхность, которая касается поверхности тела по замкнутой кривой. Эта кривая отделяет верхнюю часть поверхности тела АСВ от нижней ее части ADB. Вертикальная составляющая F_si силы избыточного давления жидкости на верхнюю часть поверхности тела направлена вниз и равна весу жидкости в объеме АА'В'ВСА. Вертикальная составляющая F_Ba силы давления жидкости на нижнюю часть поверхности тела направлена вверх и равна весу жидкости в объеме AA'B'BDA. Отсюда следует, что вертикальная равнодействующая сил давления жидкости на тело будет направлена вверх и равна весу жидкости в объеме, равном разности указанных двух объемов, т. е.

F_A=F_B2-F_B1=G_ACBD=V_ρg

В этом и заключается закон Архимеда, обычно формулируемый так: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх, численно равная весу жидкости, вытесненной телом, и приложенная в центре тяжести объема погруженной части тела.

Сила fa называется архимедовой силой, или силой поддержания, а точка ее приложения, т. е. центр тяжести объема F, — центром водоизмещения.

В зависимости от соотношения веса G тела и архимедовой силы fa возможны три случая: 1) G > f_a — тело тонет;

2) G < f_a — тело всплывает и плавает на поверхности жидкости в частично погружен­ном состоянии; 3) G = f_a — тело плавает в полностью погруженном состоянии.

Для равновесия плавающего тела кроме равенства сил G = f_a должен быть равен нулю суммарный момент. Последнее условие соблюдается тогда, когда центр тяжести тела лежит на одной верти­кали с центром водоизмещения. Условие устойчивого равновесия тела, плавающего в полностью погруженном состоянии, заключается в следующем: центр тяжести тела должен находиться ниже центра водоизмещения. Устойчивость равновесия тел, плавающих на поверхности жидкости, здесь не рассматривается.