Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Введение в современную логику - Гладкий А.В

..pdf
Скачиваний:
77
Добавлен:
24.05.2014
Размер:
1.38 Mб
Скачать

V + 1 (

V

9 < X 1 /6 @$)2 1$ 1 1$6 1-

4$ $ )$6 $) : (5

9U< > @$) 1$ 1 1$ C(x, y) + / ( 4x y 1 5 )$6 9 $ )

+$ + 9 < 9 << / $) $ + ! $ $6 $/ 6 *$6 2 : 6 *+ '

* + 2

9 < )$6 1$ P (x, y, z) 1 + @$)

1$) 1 U

9 < X 1 /6 @$)2 1$ 1 1$6 1-

*! 9 < 4 /$ $ 6: $6 + 5E 9 < 4-

$6 + $+ $ ') * *$* -

6: 5

9V< )$6 + @$) 1$) 1 $- ) 1$) + / ! 9 < 4X x +$* (5E

9 < 4 x ) $*$ * 5E 9 < 4X x

$ 9 < 2 * )25

9 < X 1 /6 1$ V (x, y) + / 4x yk 5 -

1$6 $ 0 ) / 1 4

( 5

9 < >$6 M(x, y, z) 1$ )( $ $6- )2 + + / ( xy = z )$6 + @$ $ 1$ -

$) 1$) + / ! 9 < y $* xE 9 < y = x2E 9 < y = x3

9C< >$6 $)( 1$ I(x, y) $ 1 * 1 *

1$ $ $+ 1$ $* $ 1 * )2$( 1$ +$ 4B + x $ 1 * ( y5 Q 1-

$6 1 /6 @$ 1$ $ 0 ) / 1 4[ * $+ / 1 * ( 1 2$

$* 1 * * 1 6 * @$( 1 * (5

% & !

@$( ) ( * + ($ 0 1-

( +$ 0$+ $ ($ 1 1 ' 6 )2 *

* 0 1 ( 1$*$ ( 1-

$ $ + $ $ $ $ $-

V [$6 88 X$ 1 (

)2 + ( 2 */ 2 0 @$)2 1 ( $

$6 * ( 0 ) 1$ $6 1 /6 - $ $( $') + ( 1 ) 1 ) / (

$' * 1 1 ' 6 )2 * 1 $ $* $ -

' * 0 ) ¬(X1 → ¬X2) ) *$ $!

X1

X2

¬(X1 → ¬X2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 ($ $6 ! < Y X1 X2 $) $ ¬X2 1 @$

X1 → ¬X2 +$ ¬(X1 → ¬X2) $E < Y X1 $

X2 $ ¬X2 $ X1 → ¬X2 $ ¬(X1 → ¬X2) E

< Y X1 $ X1 → ¬X2 $ 1 X2 ¬(X1 → ¬X2)

3 ( 1 ! $ $* $' * 0 ) (X1 → X2) & & ¬(X2 X1) $ !

X1

X2

(X1 → X2) & ¬(X2 X1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W $6 * +$ $' 1 1$ 4 )- + 5 + 0 ) * +$) 2 + (

X1 X2 1 * D ' * X1 X2 1$

+ $' ¬(X1 X2) + E 1 @$ D-

' * (X1 → X2) & ¬(X2 X1) 9$ +$ + 1 ' X1 → X2 )+ *$6 <

> 1 1$* $ $( $') * 0 )

/ ( $ @$)2 1 * X1 X2 X3 @$ - + $' $ $! )2 + ( 1-

( X1 X2 $* )( 2 $ +$ $6 * *

+ * 1 * X3 9 $6 +$ * 1 6-n + )2 $ $)2 + ( 1 ( X1, X2, . . . , Xn 2n< > $ $ $)2 $'

V + 1 (

VU

1$6 ) + ( @$)2 1 ( 94 5

< 1 $ $ 1$

)+ )2 *2 9$ ) 1$1 1 n = 2< 3 * 0-

) ¬(X2 ¬X1) → X1 & X3 1 0 + 1

$ 1 + / $' !

X1

X2

X3

¬(X2 ¬X1) → X1 & X3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

> ( $' 1$6 )1 * ( $ -

1$ 4 )+ 5 +$6 1-$ $6 @$ 1 ' $ $6 -1 )2 +$ 1 * X1 X3 $) $ : 1 ' * $ $ +

1$ $ - $)2 +$ X2 $ X1 $

1 ' * $ $ $ $ 1 ) $ $* 1$ 1$ 4 )+ 5 * ( $ $(

X1 $ X2 X3 )

" X$ $6 $ $) $') * 0 !

9 < ¬(¬X2 X2)E

9 < (X1 & X2) X3E

9 < (X1 → ¬X2) → ¬(X1 X2) & ¬X3E 9 < (X1 → X2) & (¬X3 → ¬X3)E

9 < ¬((X2 (X3 → X1)) → X3 X1 & X2)

$ $ $6 +$ )2 0 ) 1- ( $ $6 $ $ ) $ )$6 + ) ,-

$ 1 1 * A = 4 +$ A >$-

$ $)5 B = 4> ( ( 2 A

>$ $ $5 +$ @$ 1 * +$

$ * @$) 1 * X = 4A $ $5 Y = 4>$ $ $5 ) 1$6 A B ¬(X & Y )

V

[$6 88 X$ 1 (

¬X ¬Y $ $ $ B 1 6 1 *$6 1 + A B -

+ ) $ $ $) $') * $ $ $/ 2 0-

) +$ @$ $') 1$!

X Y

¬(X & Y )

¬X ¬Y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9Q 6 $') + ) ) <

+$ 1 * ) ) @$ 0 $ $*

+ ) *$6 +$ X Y ) 1-

* $ +$ ) 6 /$ (

1 ( 0 E @$ * $ + 1

($ + 2 1 ' (

" ,$* 1 * A B 4 1 /

1 ) 5 ) $ * 1$ $+$6 $ 1 * 1 + ) :6 $+ * $ $c$ )- ) 2 1$ ' ! $ $ $ 1$ 1 A

1 1$ +$ $ $6

+$ A >$ $ $) $ '$ 1 @$ * $ * 1 B $(

) ( $$ $ $ $ $ 9Y/ * @$ +

1 1$)2 1 ( 4A $ $5 4 +$ A $ $5 < B 1 * + ) $+

* $ $)2 + ( ) ) $6 4 +

+ ) 5 $+ $ 41$6 + )25 $-$ $)2 1 ) 9 1 + $)2 + *2 - + * * 1 ( * ( 0

$ 1$6 $*/ ( 1 1 * 4W $' H > $' G ' 5 4>$' G ' W $' H 5 + +- ) + ( 0 X & Y Y & X

+ ) 4 5< B +$ + ( 1 : 6

U * $ $ + )2 1- ( $6 +$ $ $*$* :6 4 1 5 B 1 6 )

$+$6 @$ $! + ) 1 * $ -$*$* 2 * ) ( ) / 2 2 0 1 ( 1$

V + 1 ( V

) $1 6 $6 +$ 0 ) 1 (

+ ) 1 *$ $6 6 ) 2 - $ $) $') 1$ $ 0$6 1 6$ / 6 ( 0 3 * @$ -

$ $ 1 *$ $ 1 -1 *$ ( 0 ' A ! 1 @$ 0- ' * F (x1, . . . , xn) (n = 1, 2, . . . ) $* +$ ) 1 )

1$ 2@$ $ { , } + * 0 '

$ 1$ @$ $

* 0 ' + $6 1 /6 $ -

') $+ $ $ $ $) $') $) 1$*$* 0 1 $'

X1

X2

F (X1, X2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

$ 0 ' 2 1 )2 F (X1, X2) $ +$ F ( , ) =

F ( , ) = F ( , ) = F ( , ) =

Y $' / * 0 ' F 1$ $ $-

( $' ( $( 0 ) *$ +$ @$ 0

9 0 ' F

1 $6 +$ 1 *$* 0 ' * F (X1, X2) 1$*-$* 1$6 0 ( (X1 → X2) & (X2 → X1) 93 *

1 + 1$ 4 )+$65 $ $

+ 0 ) * ( $ $') 1 / $ $6 +$ * 2 2 */ 2 1 ' ( $ $6 $ 1 ) $ + $6 2 D ' * $ + * X1 X2 )

+ ) <

E " & 9 4 " @ 2"4 &

" * @ M ) ? & " * * % @ ; " " " "#

B 1 6 ) 0$6 1 6$ $!

D @ a &bJG[XJ cGGYJ +3+7/+3V?'

VV

[$6 88 X$ 1 (

3 0 ) 1 ( )$* ,

1$*$ $ 0 ' 3 * + * 6$ 0 1 6$* 9

1 U<

, 6 ) * *$* 1 0 ) ¬(X1 & X2) ¬X1¬X2! ) 0$+ @$ ): 1 A ) >$) 9 ) 1 $ X $ X1 Y $ X2@$ $* $ + * <

3 1 $ $6 0 ) (X1 X2) & X3 X1 & & X3 X2 & X3 1 )$ 2 $ $) $')!

X1

X2

X3

(X1 X2) & X3

X1 & X3 X2 & X3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

" 9 < 3$6 +$! 9 < X → ¬Y ≡ Y → ¬XE

9 < X → (Y → Z) ≡ X & Y → Z

9 < , 6 ) 0 )! 9 < ¬(X → Y ) X → ¬Y I

9 < (X → Y ) → Z X → (Y → Z)I 9 < (X → Y ) & (X → Z) X → Y & ZI

9 < (X → Y ) (X → Z) X → (Y Z)I

, 6 ) $ )$6 $ 0 ) $)2 $ 2 */ 2 2 @$)2 1 ( 1$ 3 $

+$ 0 / * 1$ @$)2 1 * X1 X2 1$*$ $6 0 ' 2 1 )2 X1 X2

1 0 ' $2 1 )2 X1 X2 X3 $ +$ 1 0 )2 + *2 X1 X2 + *$* 1

+ * X3

,$ 1 0 ' C(X1, X2, X3) - / ( $' (!

V

+ 1 (

V

 

X1

X2

X3

 

C(X1, X2, X3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1 X2 1$ + @$ 0 ' * $ 1$

+ 1 2 )2 + *2 X3E 1 $6 )2 +$ - *2 + ( X1 X2 1$ + $ $

+ * X3 $ 0 $ $ + $(

$6 1 X1 = X2 = 1 $6 )2 2 + ( X1X2! @$ X1 & X2 B @$ 0 1$*$ : 0 ' C(X1, X2, X3) @$ 0 ' * 1$*$* $ 0-

( X1 & X2 & X3 X1 & X2 & ¬X3 1$6 1$

* $ $ $' B 0 ) X1 & X2 X1 & X2 & X3 X1 & X2 & ¬X3 6 )

$ / 1 $ ! $ $ $ $'

* 0 ) (X1 → X2) & (X1 → ¬X2) ) +$ 1$

+ X1 X1 $ ) )

+ X2 X$6 @$ 0 6 ¬X1

" 3$6 +$!

9 < (X1 X2 X3) & (X1 X2 ¬X3) ≡ X1 X2E 9 < (Y → X) & (¬Y → X) ≡ XE

9 < X (X & Y ) ≡ XE

9 < (X & Y → Z) & (X & ¬Y → Z) ≡ X → Z

> 6 * 6 1 *$ 6$ $ $6 * 1-$)2 + 6 )2 ($ 1 1 ' 6 )2 * 3 - $( $1 1 2 ($ 0$+ 2 ($(

+ / 6: ($ 1 ' ( $ - $) ) $) @$ ($ $ -

6$( )$* 1 /6 $ $)2 $'E 2

)$ )+ ,

, ,0 , 6: (

$ ) 6 2 $ 11)

V [$6 88 X$ 1 (

11 8 ($ 6 $: ( $)2 +$ $ $6

D ' * D ' *!

81

X (Y Z) (X Y ) Z 9 '$ $6 D ' <

82

X Y ≡ Y X 9$ $ $6 D ' <

83

X & (Y & Z) (X & Y ) & Z 9 '$ $6 D ' <

84

X & Y ≡ Y & X 9$ $ $6 D ' <

85

X & (Y Z) ≡ X & Y X & Z 9$ $ $6 D ' 1

$: D ' <

86 X Y & Z ≡ (X Y ) & (X Z) 9$ $ $6 D ' 1$: D ' <

87 X X ≡ X

88 X & X ≡ X

11 88 $*$ $ $: * $)2 D- ' D ' +$ $ $' !

881

¬¬X ≡ X 941 *$* ( $' *<

883

 

¬(X & Y )

X Y

 

882

 

(X Y )

≡ ¬X & ¬Y

94 ) 3 5<

 

 

¬

≡ ¬ ¬

 

11 888 $ $ $2 $: ( $)2 +$ $ 1- ' *!

8881 X → Y ≡ ¬X Y 8882 X → Y ≡ ¬(X & ¬Y )

8883 X → Y ≡ ¬Y → ¬X 94 $1 ' 5<

X$ $ $ $6 +$ $6 )( ) $: ( 11) 888 + 6 1$! 1 4A X $ Y 5 +$ $ +$

2 1 (! 4A Y X 5 98881< 4-

+$) X ) Y 5 98882<E $ X $ $6 Y $ $ Y $ $6 X

$ Y $ $6 X $ $ X $

$6 Y 98883<

) 6$ 1 ( 1 *$ 1-$6 , 0 $ 1 2$6 $ 2

0 6 ) 1 $ 1 *$* $ $) 1 * @$( +$ $!

$: ( 81 83 ) *2 X (Y Z) X & (Y & Z)$ 1 1$6 90$+ ) @$ 6

<E $: * 82 84 $ $6 1$*$6 + )

D = @ 0 &dMXMSLMS eJ WG[XZR +34V/+35+'

V + 1 ( VC

D ' *2 D ' *2 $: 85 )$6

$ * 1 ' 1 6 * 6 $: 8881

8882 )$6 + D ' $' + D-

' $' E $: * 882 883 1 *$ 4 *$6 $65

$' $*/ 1 D ' ( D ' ( 91 +

D ' * *$* D ' ( D ' * D ' (<E

$: 881 1 *$ )+$6 ( ) $' *

X 1 /6 $ $)2 1 ( * 0

1 ( 1$ $ 1$

A ) 1 6 * 6 $: * 11) 888 $

1 ' $ $ ( ) $' * 9 $6<

$ $: * $' * 6 4 $65 )+ * 41 5 6 / ( ) $' * $ ) 1 + 0 / 1 ' ( 1$ $ - $( $' * $6 $*$ $6 1 @$ - ) 1 * Y @$( 0 )$6 $

1$ 0 6 4 5 9 +$* D '

) D ' 1 *< $ 1 +$* D-

' * + ) $( 1$*$ ( D ' *

$)2 $ $ $6 @$)2 1 ( / 2

/ 2 1 ( $' * 1$ @- $) 1 * $' * 2 1 $

@$( * ) $ +1 /6 * * )$

1$ $6 1 ( + 9> @$ )

$ 4 D ' + 5 < B 0 ) 1 *$ )-$6 1 + 1 1$6-

$6 $ $)2 1 ( 6$ $ $)2 1 +$* $* 0 + 1

X & ¬Y Z → ¬(X → ¬Z)

9 <

≡ X & ¬Y Z → ¬¬(X & ¬¬Z)

9 <

≡ X & ¬Y Z → X & Z ≡

9U<

≡ ¬(X & ¬Y Z) X & Z ≡

9 <

≡ ¬(X & ¬Y ) & ¬Z X & Z ≡

9 <

(¬X ¬¬Y ) & ¬Z X & Z ≡

9V<

(¬X Y ) & ¬Z X & Z ≡

9 <

≡ ¬X & ¬Z Y & ¬Z X & Z.

9 <

 

[$6 88 X$ 1 (

Q 6 1 1 2 $ 0 ) 9 < 0 9 < 1 ' * )-

$* + D ' $' 1 1 2 0 9U<$*$* ( ) $' * 1 1 2 0 9 < 1- ' * )$* + D ' $' 1 1 2 0-

9 < $' D ' *$* D ' ( $' ( 1 1 2 0 9V< $' D ' *$* D-

' ( $' ( 1 1 2 0 9 < / $*$*

( $' 1 1 2 0 9 < )$*

" >$ D$( 6 ( 0 /

0 )!

9 < X ¬Z → Y & ZE

9 < (X → Y ) (Y → X)E

9 < ¬(X1 & ¬(X2 ¬X3) → X1) & X2E 9 < ¬¬¬(¬X ¬Y ¬Z)

0 ' * )$*

* 2 + ( )2 1 )2 1$

+ * 2 + (

)2 1 )2 1$ + G 1$ - * / * $ $ $ $ $

0 ' $ )$* $ $ $

B$ $) 1 / 0 )! X ¬X ¬(X & ¬X) X → XE * 2 1 - + X 1$ + B + $ * +$ 0 ) ¬(X ¬X) X & ¬X ¬(X → X) $ $ )

> ) $ $ $)2 0 / 2 1- )2! X & Y X & ¬Y ¬X & Y ¬X & ¬Y E (X → Y ) (¬Y → ¬X)

[$ $6 $* 2 $ $( $ $ $ * 2 $ $) $')

+$ $ $ $) 0 ) 6 )

( * * 0 6 * $ $ $(

$ $ $E $ * $ $ )2 0 + $ +$ $' $ $ $( 0 ) $ -

$ $' $ $ ( $ $

$

B$ $) 0 ) $ + 6

6 1 6 $) $ $ * 2 *- / 2 2 @$)2 1 ( A + * 2 $ $6