25

Введение

Теория случайных процессов, как одно из направлений теории вероятностей, которое существует около семидесяти лет. Неослабевающий интерес к этому направлению связан, как с собственными достижениями, так и с возможностями применения этих достижений в различных направлениях науки и техники.

В данном учебном пособии, в рамках существующего образовательного стандарта, сделана попытка изложить современную концепцию теории случайных процессов. По этой причине автор не стремился изложить все основные результаты этой теории в окончательной форме.

Пособие состоит из шести глав. Первая глава содержит необходимые сведения из теории меры и теории вероятности. Во второй главе изложены результаты современной теории случайных последовательностей, опирающиеся на теорию мартингалов. Третья глава посвящена теории точечных процессов. В четвертой главе рассмотрены приложения теории точечных процессов, теории восстановления и теории массового обслуживания. Пятая глава посвящена изложению основ теории марковских процессов. В главе шесть содержатся основные результаты, относящиеся к теории стохастических уравнений.

Глава 1. Основания теории случайных процессов.

§ 1. Аксиоматика Колмогорова.

Определение. Пусть . - система подмножеств множества называется алгеброй если:

а) , ;

б) ААА;

в) АА

Определение. Пусть А - алгебра подмножества множества . Функция : А где, называется конечно аддитивной мерой на А, если А выполняется

Конечно аддитивная мера называется конечной, если . Конечная мера называется вероятностной, если .

Определение. Тройка А,Р), где - некоторое множество, А- алгебра подмножества множества , Р - конечно аддитивная вероятностная мера на А, называется вероятностной моделью в широком смысле.

Для построения конструктивной математической теории, такое определение вероятностной модели является слишком широким.

Определение. Система F- подмножеств множества называется алгеброй, если:

1. она является алгеброй,

2. , для то и .

Определение . с алгеброй F называется измеримым пространством и обозначается (,F).

Определение . Конечно аддитивная мера задана на А называется счетно аддитивной (аддитивной) мерой (или просто мерой), если из того, что для любых попарно непересекающихся множеств А₁, А₂, … из А таких, что А, следует, что

Счетно аддитивная мера на F называется конечной, если можно представить в виде где А с

Счетно аддитивная мера Р на алгебре А, удовлетворяющая условию Р называется вероятностной мерой определенной на множествах алгебры А.

Приведем некоторые свойства вероятностных мер:

1)

2) если АРР РР.

3) если А и Р Р.

4) Если А n=1,2,.. и А Р. Задача1: Докажите первые три свойства самостоятельно. Доказательство свойства 4. Заметим, что , где при и , .Очевидно, что при и так как , то имеем .

Вопрос: Когда конечно аддитивная мера является счетно аддитивной?

Теорема 1. Пусть P - конечно аддитивная функция множеств, заданная на А с =1. Тогда следующее утверждения эквивалентны:

1. P -аддитивна;

2. Р – непрерывна сверху (то есть, если =1,2,…,где А,

такие что и А, то ;

3) Р – непрерывна снизу (то есть, если А, =1,2,… и А, то ;

4) Р – непрерывна в нуле (если А, =1,2,…, и Ø, то .

Определение. Тройка (, F, Р ) называется вероятностной моделью или вероятностным пространством, где называется пространством исходов или пространством элементарных событий, множества – событиями, где F - алгебра на , а Р(А) – вероятностью события А.

§ 2. Измеримые пространства.

Примеры -алгебр:

1) =(0, ) – бедная алгебра,

2) ={A:A} - богатая алгебра,

3) ={A:, A, 0,} называют алгеброй, порожденной множеством А.

Вопрос: Когда алгебра А() будет являться алгеброй F?

Определение . Система М() подмножеств называется монотонным классом, если из того, что АМ() n=1,2,.. и , т.е. и следует, что М().

Теорема 2. Для того, чтобы алгебра А() была алгеброй F необходимо и достаточно, чтобы она являлась монотонным классом.

2.1. Измеримое пространство (R¹, (R¹))

Пусть R¹=(-,] – действительная прямая и (a,b] = { R¹: } для всех . Обозначим через А(R¹) систему множеств в R¹, состоящую из конечных сумм непересекающих интервалов вида (a,b] : А(R¹), где . Нетрудно видеть, что эта система множеств, а также – образуют алгебру – А(R¹) , которая не является алгеброй, так как А(R¹), но А(R¹).

Определение.  (R¹) – наименьшая алгебра, порожденная А(R¹) называется борелевской алгеброй, а ее множества – борелевскими.

Если обозначить через систему интервалов (a,b], а через - наименьшую алгебру содержащую . Нетрудно установить (R¹)= .

Из каких элементов  (R¹)? Из предыдущих построений следует, что (R¹) состоит из интервалов вида , где , и их счетных объединений и пересечений. Отсюда следует, что:

i) ii) iii)

2.2. Измеримое пространство (Rⁿ, (Rⁿ))

Пусть Rⁿ = RR…R – называется прямое или декартово произведение n экземпляров числовой прямой, то есть, множество упорядоченных наборов , где , .

Множество где , называется прямоугольником, то есть, Rⁿ : , а - его сторонами.

Через (Rⁿ) обозначим совокупность всех прямоугольников из Rⁿ. (Rⁿ) - наименьшая алгебра порожденная - называется борелевской алгеброй множеств Rⁿ, которую и обозначим через  (Rⁿ).

2.3. Измеримое пространство (R, (R))

R- пространство числовых последовательностей где - , Пусть - борелевское множество к-ой числовой прямой (то есть, множество  (R¹)). Рассмотрим множества :

i) R :};

ii) R :};

iii)  (R ) R : .

Такие множества называются цилиндрическими, причем называют основанием цилиндра, а остальные координаты – образующими цилиндра. Нетрудно видеть, что множества , , образуют алгебру. Обозначим наименьшие алгебры, порожденные множествами вида i)-iii) через (R), ₁(R), ₂(R), соответственно. Можно показать, что эти алгебры совпадают.

2.4. Измеримое пространство (R^Т ,  (R^Т))

Пусть Т – произвольное пространство, множество. Пространство R^Т – совокупность действительных функций на T со значениями в R¹, обозначенные . Для простоты будем считать, что . Обозначим:, где . Проводя рассуждения аналогичные приведенным в пункте 2.3, легко построить алгебру борелевских множеств на R^Т, порожденную цилиндрическими множествами и обозначаемую через  (R^Т).

Возникает вопрос: какова структура множества  (R^Т)? Оказывается, что любое множество  (R^Т) допускает представление , где  (R). Отсюда следует, что множества, зависящие от поведения функций в несчетном числе точек t Т необязаны быть измеримыми относительно  (R^Т). Например: i)}, , ii) - непрерывные в точке .

В связи с неизмеримостью некоторых множеств из R^Т по отношению к (R^Т) естественно рассматривать более узкие функциональные пространства.

2.5. Измеримое пространство (С[0,T],  (С[0,T])).

Пусть Т=[0,1], С[0,1] - пространство непрерывных функций x_t, t [0,1], со значениями в R¹. Очевидно, С[0,1] –метрическое пространство, относительно метрики ρ(х,у)= , то есть ρ(х,у) – расстояние между двумя непрерывными функциями, обладающие свойствами:

1. ρ (х,у)=0x=y; 2) ρ (х,у)= ρ (у,x); 3) ρ (х,у) ρ (x,z)+ ρ(z,y).

Через  (С[0,T]) обозначим наименьшую алгебру, порожденную цилиндрическими множествами, которые строятся аналогично пункту 2.4.

2.6. Измеримое пространство (,()).

 – пространство функций x_t , t [0,1], со значениями в R¹ , непрерывные справа, имеющие пределы слева в любой точке t[0,1]. В нем также можно ввести метрику:

ρ_s(x,y)inf {, где - множество строго возрастающих непрерывных на отрезке [0,1] функций , причем и }. -алгебра () строится аналогично пункту 2.4.