4.3. Всесвітнє тяжіння

4.3.1. Закон всесвітнього тяжіння. Вільне падіння тіл

В результаті узагальнення досліджень, Ньютон встановив закон всесвітнього тяжіння: кожні дві матеріальні частинки притягаються одна до одної з силою, прямопропорційною масам і оберненопропорційною квадрату відстані між ними:

. (1)

Ця сила направлена вздовж прямої, що з’єднує ці частинки.

Згідно закону, усі матеріальні тіла притягуються один до одного, причому величина сили тяжіння не залежить від фізичних або хімічних властивостей тіл, від стану їх руху, від властивостей середовища, де знаходяться тіла. На Землі тяжіння проявляється в існуванні сили тяжіння, яка є результатом притягання усього матеріального Землею. Термін „гравітація” еквівалентний поняттю тяжіння.

У векторній формі рівняння (1) змінюється на величину одиничного вектора:

, (2)

.

В даному випадку сила - сила, що діє на першу частинку зі сторони другої частинки, а - стала тяжіння, гравітаційна стала, яка чисельно = .

Очевидно, що сила , яка дія зі сторони першого на друге тіло, буде визначатися за тією ж формулою (2), лише має знак „-”:

. (3)

Закон всесвітнього тяжіння сформований Ньютоном для точкових мас. Сила взаємодії між двома частинами не залежить від присутності третьої частинки. Тоді при взаємодії N частинок, сила з якою діють одна на одну частинки з масою m, всі інші частинки з дорівнює векторній сумі сил, з якими діють кожна частинка на дану частинку:

. (4)

Рис. 1

Рівняння (4) називається законом адитивності. Він дає змогу використовувати закон тяжіння для знаходження сили взаємодії двох тіл будь-яких розмірів і форм.

Рис. 2

Маємо два тіла і , тоді ми можемо розбити кожне тіло на велику кількість малих тіл масами і . Кожну з них можемо вважати матеріальною точкою і тоді якась частина буде притягуватись частинкою з силою:

.

Сила з якою усе друге тіло діє на одну частинку, наприклад першого тіла згідно закону адитивності:

.

Сила, що діє зі сторони другого тіла на перше буде визначатися рівнянням:

. (5)

Вивчення руху тіл відносно поверхні Землі показує, що сила тяжіння викликає два види руху:1 – тіло, яке немає опори, падає на землю і 2 – це тіло приймає участь у добовому обертанні Землі внаслідок чого на нього діє центробіжна сила(так як система зв’язку з Землею і для такого тіла є неінертною). На таке тіло діє сумарна сила P, яка складається із сили тяжіння і центробіжної сили.

Рис. 3

Сила тяжіння визначається:

.

Тоді:

. (6)

В даному випадку P – сила тяжіння, прискорення, яке виникає під дією сили – прискорення вільного падіння. Згідно з другим законом Ньютона:

. (7)

Так як центробіжна сила залежить від географічної широти і місця знаходження тіла відносно поверхні Землі, то очевидно, що прискорення вільного падіння також залежить від широти географічного положення, тобто прискорення на полюсі і на екваторі:

, (8)

. (9)

З даних рівнянь та експериментів слідує, що прискорення не залежить від маси, розмірів та інших властивостей тіла, а залежить від відстані між цим тілом та поверхнею Землі. Розглянемо дану залежність. Позначимо - величина, яка чисельно дорівнює:

.

Це прискорення біля самої поверхні Землі.

А - величина, яка чисельно дорівнює:

.

Це прискорення тіла, яке знаходиться на висоті h від поверхні землі.

Відношення:

. (10)

Тоді при малих висотах(коли ), величина буде дуже мала, і нею можна знехтувати, тоді:

. (11)

З даного рівняння слідує, що при підйомі тіла на висоту 1км, прискорення вільного падіння зменшується на 0,03% і тому з деяким наближенням при русі тіла на невеликих висотах приймають, що прискорення вільного падіння можна виразити через :

. (12)

У зв’язку з тим, що Земля – це неідеальна куля ( ) і враховуючи вплив добового обертання(виникнення центробіжної сили), це приводить до того, що прискорення сили тяжіння залежить від географічної широти і місця, змінюючись від на полюсі до на екваторі.

Тільки при відносно точних розрахунках враховується положення тіла відносно центра Землі.