Растяжение, сжатие, смятие
Начнем с простейшего случая растяжения или сжатия призматического стержня. Центральным растяжением или сжатием этого стержня называется деформация его под действием двух равных и прямо противоположных сил, приложенных к концевым сечениям и направленных по оси стержня. Если эти силы направлены наружу от концевых сечений, то мы имеем растяжение, в противном случае – сжатие.
Распределение напряжений при растяжении
Как мы отмечали, деформация растяжения появляется в том случае, если внешние силы направлены по одной прямой вдоль оси бруса в разные стороны.
Если представить себе в таком брусе воображаемые продольные волокна материала, то ясно, что все они удлиняются, причем, очевидно, удлинения всех волокон будут одинаковы. Иначе говоря, материал в любой точке поперечного сечения будет одинаково деформироваться. Следовательно, и внутренние силы упругости также во всех точках будут одинаковы. Но это означает, что во всех точках будут одинаковые напряжения. Очевидно, что при таком равномерном распределении внутренних сил по сечению величину действительных нормальных напряжений можно получить, разделив равнодействующую N внутренних сил (продольную силу) на площадь F поперечного сечения бруса, т.е.
.
(3.1)
Зависимость между напряжением и относительным удлинением
Для того чтобы получить полную картину работы растянутого или сжатого элемента, необходимо иметь возможность вычислить, как будут меняться его размеры.
Соответствующие законы можно получить лишь на основании опытов с растяжением и сжатием образцов изучаемого материала; эти же опыты дают возможность изучать и прочность материала, определять его предел прочности и другие характеристики.
Опыты приводят к заключению, что, пока нагрузка на образец не достигла известного предела, удлинение прямо пропорционально продольной силе и длине образца l и обратно пропорционально площади поперечного сечения F. Обозначая l приращение длины образца от продольной силы, можем записать формулу, связывающую между собой эти опытные данные:
,
(3.2)
где Е – коэффициент пропорциональности, различный для разных материалов.
Величина l называется абсолютным удлинением стержня.
Формула (3.2) носит название закона Гука, по имени английского ученого, впервые открывшего этот закон пропорциональности в 1660 г.
Зависимость можно представить в ином виде. Разделим обе части этой формулы на первоначальную длину стержня l:
;
отношение
– абсолютного удлинения к первоначальной
длине – называется относительным
удлинением, т.е.
.
(3.3)
Величина - или безразмерный параметр, или выражается в процентах.
Подставив в предыдущую формулу вместо
величину , а
вместо
– величину нормального напряжения ,
получаем иное выражение закона Гука:
(3.4)
или
.
(3.5)
Таким образом, нормальное напряжение при растяжении или сжатии прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению стержня.
Установлено, что в некоторых пределах нагружения при упругих деформациях напряжение оказывается прямо пропорциональным величине относительного удлинения .
Коэффициент пропорциональности Е, связывающий нормальное напряжение и относительное удлинение, называется модулем упругости при растяжении материала. Чем больше эта величина, тем менее растягивается стержень при прочих равных условиях (длине, площади, силе). Таким образом, физически модуль Е характеризует сопротивляемость материала упругой деформации при растяжении.
Величина модуля упругости материала Е даже для одного и того же материала не является постоянной, а несколько колеблется. Для некоторых материалов величина модуля оказывается одинаковой как при растяжении, так и при сжатии (сталь, медь), в других случаях – различной для каждой их этих деформаций. В обычных расчетах этой разницей пренебрегают и принимают для громадного большинства материалов одно и то же значение Е как при растяжении, так и при сжатии.
Средние величины модуля Е для ряда материалов приведены в справочниках [18].
Из рассмотрения формулы (3.2) ясно, что
чем больше ее знаменатель, тем менее
растяжим (податлив) или, как говорят,
тем более жесток стержень, поэтому
знаменатель этой формулы, величина ЕF,
называется жесткостью стержня при
растяжении или сжатии. Т.е. жесткость
при растяжении или сжатии зависит с
одной стороны, от материала стержня,
характеризуемого величиной его модуля
упругости Е, а с другой стороны от
размеров поперечного сечения стержня,
характеризуемых величиной площади его
поперечного сечения F.
Иногда бывает удобно пользоваться
понятием относительной жесткости,
которая равна
,
т.е. отношению жесткости к длине стержня.
Формулы (3.2) и (3.4) позволяют определить удлинения и укорочения, которые получает тот или иной стержень конструкции при растяжении или сжатии. Обратно, зная эти удлинения, размеры и материал стержня, можно вычислить нормальные напряжения, которые в нем возникают.
Таким образом, для вычисления напряжений мы имеем два пути: если известны внешние силы, растягивающие или сжимающие стержень, то напряжение вычисляется по формуле (3.1), если же внешние силы неизвестны, а можно измерить удлинение стержня, то напряжение определяется формулой (3.5).