Лекция 4. Топологическое проектирование
Данная тема рассматривает основные задачи топологического проектирования. Решение этих задач основано на применении теории графовразделе математики, оперирующем формальным представлением связей между объектами. Исходным для решения топологических задач является принципиальная схема разрабатываемого устройства, которая по определенным правилам представляется в видеграфа. Далее, в зависимости от задачи, над графом проводятся соответствующие преобразования для получения решения, которое удовлетворяетпринятому критерию.
Одним из первых применил теорию графов к решению практических задач Эйлер.
Далее Вы изучите следующие разделы:
основные понятия теории графов;
типовые задачи топологического проектирования;
алгоритмы разбиения схем;
алгоритмы размещения;
алгоритмы трассировки.
Основные понятия теории графов
Граф совокупностьвершинирёбер, соединяющих некоторые (или все) вершины.
Обозначение графа – G. Формальная (аналитическая) запись графа:G(X,Y), гдеX– множество вершин,Y– множество рёбер, соединяющих вершины. Таким образом, набор вершин, из которых соединены хотя бы две, уже является графом, однако набор вершин, не соединенных между собой ни одним ребром, графом не является. Частным случаем ребра являетсяпетля, которая начинается и заканчивается в одной вершине.
Способы задания графов
Существуют три способа задания графов: аналитический, с помощью рисунка и матричный.
Аналитический способ задания. Граф задаётся с помощью формул в видеG= (X,Y). Этот способ мало информативен и носит академический характер. Подобное представление бывает полезным при формальных описаниях графа при решении математических задач.
Задание графа с помощью рисунка. Способ очень наглядный, даёт максимум информации (лучше один раз увидеть, чем сто раз услышать!), однако имеет существенный недостаток: плохо формализован, поэтому неудобен для строгого описания алгоритмов решения задач топологического проектирования.
Пример представления графа в виде рисунка дан на рис. 4.1.
Рис. 4.1. Пример графа
Матричное задание графа. Этот способ менее нагляден, чем предыдущий, однако несёт всю информацию о графе, хорошо формализован и используется во всех алгоритмах как основной. Матричный способ задания графов представляется в виде двух основных типов матриц:матрицы смежности(матрицы соединений) иматрицы инциденций.
Для более глубокого понимания методов решения топологических задач следует рассмотреть следующие вопросы:
классификация графов
элементы графа
матрица соединений
матрица инциденций
Классификация графов
Существует значительное число разновидностей графов. В каждом конкретном случае возможно применение того или иного типа графа. Возможно поэтапное преобразование графа одного типа в граф другого без изменения информационного наполнения графа. Эти преобразования называются изоморфными. При этих преобразованиях сохраняется неизменным число вершин графа и их соединения. Приведем наиболее применяемые разновидности графов.
Неориентированный граф – граф, в котором не указано направление рёбер; например, граф, описывающий принципиальную электрическую схему.
Ориентированный граф – граф, в котором указана ориентировка ребер.
Конечный граф – граф, число вершин в котором конечно. В основном дело имеют с конечными графами.
Пустой граф – граф, в котором число вершин и рёбер равно нулю.
Полный граф – граф, в котором все вершины соединены между собой рёбрами.
Связный граф – такой граф, в котором можно соединить последовательностью рёбер любые две вершины. Этот граф нельзя разделить на отдельные несвязные подграфы.
Несвязный граф – граф, в котором нельзя соединить хотя бы две вершины последовательностью рёбер. Такой граф можно разделить на несколько независимых подграфов.
Планарный граф – граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения рёбер. Определение планарности – задача нетривиальная и для этого используются специальные алгоритмы. Однако существуют два типа заведомо непланарных графа (графы Куратовского), и, если они входят в состав исходного графа, то последний не является планарным.
Плоский граф – уже изображенный на плоскости без пересечения рёбер. Плоский граф – модель реализации односторонней печатной платы. Плоский граф получают из планарного изоморфными преобразованиями графа.
На рис. 4.2 представлены некоторые типы графов.
Рис. 4.2. На рисунке представлены изображения некоторых типов графов